评菲尔茨奖得主蒂莫西·高尔斯对√2不是有理数的证明

yangls728

评菲尔茨奖得主蒂莫西·高尔斯对√2不是有理数的证明
杨六省
yangls728@163.com
菲尔茨奖得主蒂莫西·高尔斯在《牛津通识读本：数学》中译本第37页对√2不是有理给出的证明如下：
1.如果√2是有理数，那么我们可以找到整数p和q使得√2=p/q（由“有理数”的定义）。
2.任意分数p/q都能够写成某个分数r/s，r和s不全是偶数。（分子分母连续除以2，直到至少有其中一个变成奇数。例如分数1412/1000等于706/500等于353/250。）
3.因此，如果√2是有理数，我们就可以找到两个不全为偶数的整数r和s使得√2=r/s。
4.如果√2=r/s，则2=r2/s2（等式两端平方）。
5.如果2=r2/s2，则2s2=r2（等式两端乘以s2）。
6.如果2s2=r2，则r2是偶数，即r必须是偶数。
7.如果r是偶数，那么存在某个整数t使得r=2t(由“偶数”的定义）。
8.如果2s2=r2且r=2t，则2s2=（2t）2=4t2，于是得到s2=2t2（两端除以2）。
9.如果s2=2t2，那么s2是偶数，意味着s是偶数。
10.按照√2是有理数的假设，我们已经表明√2=r/s，r和s不全是偶数（第3步）。我们之后又得到r是偶数（第6步），s是偶数（第9步）。这是一个明显的矛盾。因为√2是有理数的假设会推出明显错误的结论，所以这个假设本身必定是错误的。因此，√2是无理数。
笔者评析：上述证明与常见的传统证明方法（例如，人教版七年级下册）在实质上是相同的，只是设立的反论题有所不同：传统证明方法设立的反论题是√2=p/q（p，q互质），《读本》设立的反论题是√2=p/q（p，q不全为偶数）。所以，笔者只就上述第2、第3两条作简要的评析。
最简单有力的反驳方法莫过于以其人之道还治其人之身。如果上述证明中的第2、第3两条的思路是合理的，那么，下面的两条也应该是合理的：
2，.任意分数p/q都能够写成某个分数r/s，r和s全是偶数（如若不然，分子分母都乘以2即可，例如，分数353/250等于706/500）。
3，.因此，如果√2是有理数，我们就可以找到两个全为偶数的整数r和s使得√2=r/s。
但是，从√2= p/q（p和q都是整数）（注意：不是从“ p/q（p和q都是整数）”）怎么能够推出两个相互矛盾的结论√2=p/q（p，q不全为偶数）和√2=p/q（p，q全为偶数）呢？或者说，“√2不是有理数”怎么能够有两个相互矛盾的反论题√2=p/q（p，q不全为偶数）和√2=p/q（p，q全为偶数）呢？唯一合理的解释是，《读本》证明中的第2、第3两条是错误的，也就是说，《读本》把√2=p/q（p，q不全为偶数）作为“√2不是有理数”的反论题是错误的。大道至简。“√2不是有理数”的反论题只能是“√2是有理数”，即,√2= p/q（p和q不都是整数）的反论题只能是√2= p/q（p和q都是整数）。
最后，笔者的质疑是：√2不是有理数的反论题应该是唯一的，还是可以有多个？例如， √2= p/q（p和q都是整数），√2=p/q（p，q互质），√2=p/q（p，q不全是偶数），等等，它们是等价的吗？
以下是笔者的证明。
命题：√2不是有理数，即√2= p/q（p和q不都是整数）。
证明：假设√2= p/q（p和q都是整数）。可先固定q是整数，于是有p2=2q2（q是整数）。p不能是奇数，因为奇数的平方不是偶数。假设p是偶数。设p=2r,代入p2=2q2,得q2=2r2，同理，q是偶数；同理，r是偶数；等等。这样，p将含有无穷多个因数2，这与p是偶数的假设矛盾，说明p不是偶数。所以，p不是整数，命题得证。
说明：在证明中也可以固定p是整数。由于我们要证明的是p和q不都是整数，而不是p和q都不是整数，所以，务必先固定其中的一个是整数，否则，论证将无从进行。