深入浅出变分法 -（1）

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深入浅出变分法 -（1）

原创 深研问道 磨砥刻厉 2024 年 07 月 06 日 17:45 上海

通常，我们会遇到寻找一个变量取值，使得某一函数取极大值或极小值的问题。解决这个问题的办法是对变量求导，使得导数为零，此时，我们说函数取得了一个稳定值，即极值。

然而，有时我们也会遇到这样的问题，寻找一个函数，使得这个函数在确定规则下的积分取极值。这种情况下，变化的是函数，即我们所说的自（由）变量是函数，我们称此类问题是变分的（variational）。

为了更好地理解变分，我们先了解一下泛函的概念。

1. 泛函（Functionals）

简单来讲（非严格定义），泛函是从函数到实数的映射。它以整个函数作为输入，并产生单个实数作为输出。

泛函的自变量是函数，也就是说，泛函是函数的函数。与普通函数不同，例如，f(x)=x^2 ，这是一个普通函数，输入不同的 x 值，函数按映射规则输出相应的函数值，即 x 的平方值。而对于泛函，自变量是函数，泛函的输出则是对自变量函数按映射规则输出相应的实数值。

例如，对于如下的泛函，映射规则是计算函数 y 的平方在区间（a,b）上的积分。



这里自变量函数 y 是未知的自由变量，输入不同的函数，将得到不同的泛函值。

泛函表达式中通常不仅包含输入的函数 y ，还包含函数 y 的各阶导数以及函数 y 本身的自变量。通常表示为，



我们这里仅关注自变函数最高导数为一阶的如下形式的泛函，



需要注意的是，虽然泛函的映射规则通常是积分运算，但就泛函本身定义来讲，它只是将函数映射为实数的函数，因此，也有其他非积分运算的泛函，如最大值泛函（Maximal Functional ，返回函数在某个区间上的最大值），评估泛函（Evaluation Functional ，返回函数在某一点的值）等。

2. 变分问题

变分问题是如何使一个泛函取极值的问题。例如，对于如下的泛函，



函数 y 是未知的，同时也是积分路径，变分问题是找到一条积分路径，使得积分（泛函）取极值（在物理学中，通常是取最小值）。

我们假设 y(x) 就是解，而其他函数（经过两端点，但路径与 y(x) 不同）都与 y(x) 存在差异，这个差异我们记为  。如果将某一函数记为 g(x) ，则其与 y(x) 的差  为，



由于 g(x) 的任意性，这个差异可以是任意形式，就像我们在二维平面上的一个点，变动到另一个点，可以以各种方向移动。当然， 需要满足两个条件，一是由于我们仅考虑光滑函数，光滑函数的差仍然是光滑函数，因此， 也是一个光滑函数。另一个是，我们考虑的函数都是经过初始点与终止点的函数，因此，在初始点与终止点上所有函数具有同样的值，即  在初始点与终止点处为零。

我们引入一个新的函数 η(x) 表示差异变化形式，用 εη(x) 表示在这种变化形式下的一族变化。

于是，



表示为，



注意，当 ε=0 时，g(x) 即代表 f(x) 本身，因此，我们可以用 y(x,ε) 来统一表示所有在 y(x) 附近变化的所有函数。



这样，相应泛函表示为，



而 y(x,0) 就是我们假设的解，于是，当 ε 趋于零时，积分取极值，即，



而，



其中，y 的表达式为，



并且有，







于是，



上式中的第二项，可通过分部积分，



由在端点处所有函数的函数值相等可知，



因此，上式仅剩余第二项。于是，



如果将上式两边同时乘以  ，则可表示为，





由于 η(x) 的任意性，要想使积分为零，只能要求，



注意，在上式推导中，y 始终是一个未知的待寻找的函数，我们推导的目的就是找到使得积分为极值时，y 应该满足的条件。而上式就是我们得到的最终结果。

即，为使得对由 f 定义的包含 y 函数的运算进行的定积分取得极值，y 函数应该满足的条件是：


参考

《Mathematical Methods for Physicists 6th ed.》By George B. Arfken, Hans J.Weber

https://fab.cba.mit.edu/classes/864.20/text/variational.pdf