哥德巴赫猜想的多种初等证明方法

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哥德巴赫猜想不仅容易理解证明也根本不难：
      有多种初等证明方法可以证明，哥德巴赫猜想是远远成立的：
1，由差定理（更容易证明）证明和定理（就是哥德巴赫猜想）成立。
2，设偶数2A的方根为M则其方根M内的素数的个数的下限是m=M/lnM，则偶数2A的哥德巴赫猜想解的个数的绝对下限就是m-1，这是对无穷大的偶数都成立的，随着偶数的增大实际解的个数远远大于m-1 ， 所以，哥德巴赫猜想远远成立。
3，据构成哥德巴赫猜想解的素数与偶数的方根的大小，把解分为两类：小根拆和大根拆，大于4的偶数，仅仅有73个偶数只有大根拆而不含有小根拆，其他的都是既有小根拆也有大根拆，而4=2+2.

所以，哥德巴赫猜想远远成立，容易证明，仅仅初等数学就可以证明，中学以上的学历都i可以完全解决。

至今不能解决的原因仅仅有两个：一是数学家喜欢本末倒置从解析数论下手解决问题，二是中国数学界到处是汉奸破环了中国数学界的学术氛围！！

     所以，哥德巴赫猜想的证明并不难，方法并不是唯一的，还有很多其他方法，所谓的解析数论的方法并不是必须的，用初等数论的方法是完全能够彻底解决的！！

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陈氏定理的证明原文：
https://www.bilibili.com/opus/587049019222965548

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筛法和圆法

既然我们发现，直接证明哥德巴赫猜想很难，那么我们是不是可以考虑一些弱一些的结果呢？人们在20世纪主要尝试了从两个方向逼近这个问题：


（1）固定加数的数量（两个），证明每个数都能写成两个数的和，而这两个数最多分别是n个质数的乘积，当n=1的时候就得到了哥德巴赫猜想。

（2）固定每一个加数为质数，证明每个数都可以写成n个质数的和，当n=2的时候就得到了哥德巴赫猜想。

这两个思路就对应了二十世纪解析数论中最重要的两个方法：筛法和圆法。


1916和1917年，G.H. Hardy和Ramanujan在处理加性数论的另一个问题：华林问题*时，首次提出了解析数论中最重要的方法之一：圆法。其基本思想是用傅里叶分析的方法处理数论问题，因为傅里叶系数的计算需要某种“三角和（Trigonometric sum）”在[0,1]区间上的积分，通过把[0,1]区间分成许多优弧（major arc）和劣弧（minor arc），然后分别估计它们对整个积分的贡献（contribution），就能得到一定的结果，其中将会要求劣弧的贡献远远小于优弧的贡献。这种方法，在1924年，便让Hardy和Littlewood在假设广义黎曼猜想成立的情况下，证明了第二条路的最好结果：一个大于7的奇数可以写成最多三个质数的和，也就是所谓的弱哥德巴赫猜想。1937年，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫（Ivan Matveyevich Vinogradov）利用他改进过的方法，在圆法的基础上无条件地证明了弱哥德巴赫猜想。他们的方法都是去估计把一个大奇数N写成三个质数的和的写法的数量，只要证明这个数量永远大于1就可以证明弱哥德巴赫猜想了。

以上是网络资料

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1915年，挪威数学家维果·布朗（Viggo Brun）提出了第一个现代意义上的筛法，而这个方法竟是基于2000多年前古希腊人的埃氏筛法（Sieve of Eratosthenes）。这个方法也叫做布朗筛法（Brun's sieve），是经典筛法的三大支柱之一。由于使用了容斥原理**，布朗筛法也是一种组合筛法。

1940年，挪威数学家阿特勒·塞尔伯格（Atle Selberg）提出了同样是基于容斥原理的塞尔伯格筛法（Selberg Sieve），同样是经典筛法的三大支柱之一。

1941年，苏联数学家尤里·林尼克（Yuri Vladimirovich Linnik）提出了大筛法***（Large Sieve）的雏形，经由伦义（Alfred Renyi），克劳斯·罗斯（Klaus Roth），恩里克·邦别里（Enrico Bombieri）等人的发展完善，在六十年代终于完成了大筛法的建立，至此筛法的三大支柱得以建立。

筛法的基本思想，在于对一个正整数集合中满足某种特殊性质（通常是同余）的数的数量的估计。比如，假设A是小于n的所有正整数，P是一个包含一些质数（p）的集合，然后A(p)是所有A中可以被质数p整除的数。那么筛法就需要估计A中所有跟P中所有质数都互质的数的数量。简单地说，筛法就是用一个“筛子”筛掉某个集合里不符合某个性质的数。下面我们用“n+m”代表“一个数可以写成两个数的和，其中一个数是不超过n个质数的乘积，另一个是不超过m个质数的乘积”

筛法的主要发展是在1920-60年代，这个时期，布朗筛法首先得出了“9+9”和“一个数可以写成六个质数的和”，伦义则用大筛法于1948年证明了“1+K”，其中K是个有限的自然数。1962年，中国的王元证明了“1+4”，最终，在1966年，陈景润证明了“1+2”，也就是第一个方向中的最好结果。


以上是网络资料

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哥德巴赫猜想
是由德国数学家哥德巴赫提出的一个猜想（哥德巴赫猜想）
任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和（强哥德巴赫猜想）；任何一个≥9之奇数，都可以表示成不超过三个的奇质数之和（弱哥德巴赫猜想）。

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哥德巴赫猜想

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个质数（只能被1和它本身整除的数）之和。如6=3+3，12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想a)任何一个＞=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个＞=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

实例

(a)任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b)任何一个≥9之奇数，都可以表示成不超过三个的奇质数之和。
这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在x年6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想如今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对33×10的8次方以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200多年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，绞尽脑汁，然而如今仍不得其解。

主要进展

到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比6大的偶数都可以表示为（9+9）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9+9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。
最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是至多两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。
在陈景润之前，关于偶数可表示为 至多s个质数的乘积 与至多t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:
1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。
1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”，“4 + 9”，“3 + 15”和“2 + 366”。
1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。
1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。
1948年，匈牙利的瑞尼证明了存在C使得“1 + C”成立。
1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。
1957年，中国的王元证明了“3 + 3”和“2 + 3”。
1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”，中国的王元证明了“1 + 4”。
1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3”。
1966年，中国的陈景润证明了 “1+2”。
从1920年布朗证明“9+9”到1966年陈景润攻下“1+2”，历经46年。自“陈氏定理”诞生如今的50多年里，人们对哥德巴赫猜想猜想的进一步研究，均劳而无功。

以上都是网络资料

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其实哥德巴赫猜想不仅容易理解证明也根本不难，如下就是一种不需要大量计算的证明：

哥德巴赫猜想的初等证明
王彦会
河北省石家庄市井陉县井新碳素公司  中国  河北 石家庄  050300
摘要:本文通过多年研究发现的素数的分布规律和新的性质特点，素数越来越稀而且又是疏密相间，利用了初等数学和集合学的逻辑和原理，严格证明了两个素数差的定理(包括孪生素数猜想)和哥德巴赫猜想的成立。首次提出和证明了，新的素数和素数对的产生原因和相邻素数的间距的关系定理。据此证明了素数的差定理和和定理(就是哥德巴赫猜想)。对素数越来越稀并且疏密相间的规律也进行了证明，证明方法是不同于其他教科书的新的方法，用到的知识点不高，都是初等数学的基础理论。本文利用欧几里得反证法对素数对的无穷性 ，进行了进一步证明。对某数内的素数的最大间距的增长性，进行初步探讨和分析，这正是素数越来越稀的体现。
关键词：素数、哥德巴赫猜想、初等数学
引言：
一、几个概念
1，素数：我们把像 2，3，5，7，……，这样除了 1 和本身不能被其他数整除的整数叫素数，
又叫质数。
2，哥德巴赫猜想：大于等于 4 的偶数都可以表示为两个素数的和，这就是猜想的内容，也
叫偶数哥德巴赫猜想。是德国数学家哥德巴赫 1742 年发现的。简称哥猜。
3，孪生素数猜想：差为 2 的一对素数叫孪生素数，如 3 和 5，5 和 7，等等。孪生素数有无
穷多，这就是猜想的内容。简称孪猜。
4，素数有无穷多的证明：
素数无穷多的证明，欧几里得用反证法证明了（欧几里得之前是否有人已用过不知道）。
扩展资料：
（1）质数 p 的约数只有两个：1 和 p。
（2）所有大于 10 的质数中，个位数只有 1,3,7,9。
（3）初等数学基本定理：任一大于 1 的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质
数之积，且这种分解是唯一的。
素数无穷多还有其他证明方法，如利用欧拉函数的代数数论法，利用了欧拉乘积公式的
解析数论法，等等。
谁穷尽了初等数论的证明方法？我的证法你知道吗？用过吗？
用我的证法来证明素数有无穷多，是这样：
    首先我们可以得到一个定理：
命题 1（产生素数的定理）:设 p1 和 p2 是相邻素数，若相邻素数的差 p2-p1>＝2，则在 p2+2
与 3*p2（或2*p2+1） 之间必然会有新的素数产生，新的素数的间距又是大于等于 2 的，所以此过程是无穷的，故，
只要有一对相邻素数的差为 2 则新的素数就会无穷无尽出现。
证：
奇素因子 p 第一次出现时本身是个素数，第一次出现就是在第一个周期内，所以，各素因子的第一个周期是其占位最多的情况，而每一个素因子在其一个周期内只能占一个位置，若相邻素数的差
p2-p1>＝2，由于各素因子周期不同，节拍错位，在 p2 的第二个周期内必然有重复占位的，比如
3p2 就是 3 和 p2 重复占位了（比如2p2 就是 2 和 p2 重复占位了），则在 p2+2 与 3p2（或2p2+1） 之间必有一个空缺位置，就是旧素因子不能占位了，必然会产生一个新素数。这是必然的。
而新素数和 p2 的差是从 2 到该数内的理论最大值（比如小于 p 或者小于√p，精确的理论值目
前还没有人确定）之间的某个值，所以，该间距又是大于等于 2 的。
因此，下一个周期就又会必然产生新的素数，过程是无穷的，所以，素数是无穷的。

随着素数 p 的增大理论上的某数内的最大间距是不断增长的，所以，素数会越来越稀。而一旦出现了一次理论上的某数内的最大间距，则在下一个周期内又会出现一个小的间距甚至会出现多个素数，这是必然的，所以，素数又是疏密相间的。命题 1 成立，素数无穷多，证毕。
例如：3 和 5 是相邻素数，5-3=2，在 5+2=7 与 3*5=15 （或2*5+1=11）之间，必有新素数（至少一个），7~15之间的素数有 7，11，13（而7~11之间有7,11），7~3*3=9 之间有一个素数是 7. 而 7-5=2，所以，后面此过程是无穷的，新素数就是无穷多的。
      教课书中对素数分布越来越稀的证明：从素数表可以看出:在 1 到 100 中间有 25 个素数, 在 1 到 1000 中间有 168 个素数,在 1000 到 2000 中间有 135 个素数, 在 2000 到 3000 中间有127 个素数，在 3000 到 4000 中间有 120 个素数,在 4000 到 5000 中间有 119 个素数,在 5000到 10000 中间有 560 个素数。由此可看出，素数的分布越往上越稀少。
      素数具有许多独特的性质：
除了前面的“扩展资料”叙述的 3 条加上（4）素数无穷多这一条，还有如下两条：
（5）质数的个数公式π（n）是不减函数。
（6）若 n 为正整数，在 n 的 2 次方到（n+1）的 2 次方 之间至少有一个质数。
素数定理可以给出第 n 个素数 p(n)的渐近估计：
它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于 n 的自然数随机选一个，它是素数的概率
大约是 1/ln n。对正实数 x，定义π(x)为素数计数函数，亦即不大于 x 的素数个数。数学
家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。pi(x)≈x/ln x, 其中
ln x 为 x 的自然对数。后来被证明这个公式是素数个数的下限公式（有的书上把这个公式
叫素数定理），这个公式的证明过程已经证明了素数分布是越来越稀的。

二、孪生素数猜想的证明和哥德巴赫猜想的证明

    下面来证明孪生素数有无穷多：
证明方法一：
证明： 请看如下两个数列：
2n+1: 3，5，7，……，
2n+3: 5，7，9，……，
对应项差为 2，若对应项均为素数则为孪生素数对。比如 3 和 5,5 和 7，……。
由于这是两个奇数数列，所以，素因子都是大于等于 3 的，且 相邻素因子的差存在无
穷多大于 2 的差。
正是由于这两条原因，孪生素数对就是无穷多的.
这个简述不明白的话，再详述一点如下：（前面俩数列是奇数数列含有全体奇素数不重复证明了）
素数对产生的原因也仅以下两条:
1，两个数列中的素因子必须大于 2，都是奇数，这个满足。
2，由于两数列中相同的素因子在同一个周期内最多可占对应项的 2 个位置，故相邻素
因子的差必须≥4，偶尔有等于 2 的不影响结果，这条也满足。
这个充分条件就是个定理，定理：前两个数列中只要出现大于 2 的相邻素数对的差（或
者说是相邻素因子的差）就必然产生孪生素数对。（产生 2 生素数对即差为 2m 的素数对的
充分条件也是这个，就是只要存在大于等于 4 的相邻素数对就必然产生）
证明：前面两个数列中，若相邻素数 p2-p1>=4,则在 p2 的下一个周期由于节拍错位，
必有至少一对素因子重复占位，如 3p2,就是 3 和 p2 重复占位了。则比前一个周期多出一个
空缺位置，就是素数对的位置，则必然产生至少一对孪生素数对，因为一个素因子最多占两
个位置。如 11-7=4>2，在 11 的下一个周期的 33 就是 3 和 11 重复占位了，次位的 31 和对
应项 29 构成孪生素数对。而 17-13=4，也大于 2 了，在 17 的下一个周期最大的数是 3*17=51，
在这个周期内有 43，41 一对，与 51 是不接近不是次一位，而 13 和 11 不在这个周期，因为
是从 19 开始到 51 结束的。而 19 和 17 又是一对孪生素数对。为啥素数 p2 的下一个周期最
大的必然是 3p2 呢？这个容易理解，因为素因子第一次出现的时候是素数，后面出现的就是
其倍数，倍数是从低到高出现的，奇数数列中去掉了偶数，所以没有 2 倍数了，所以下一次
就必然是 3 倍数，所以必然是 3p2。3 和 p2 必然是重复占位，就是占了同一个位置，节约了
一个位置，就是产生一对孪生素数对是必然的，因为空缺位置不能被前面的素因子占位，且
是对应项都不能被占位了，必然是素数对位置。这就是定理，这就是充分条件，证毕！
由于，素数越来越稀，大于等于 4 的相邻素数的差有无穷多，所以，孪生素数对无穷多。(这个是多年研究才弄明白的，这个是产生素数的本质原因，也是产生素数对的本质原因)
而要产生4生素数组呢？充分条件就是只要存在大于等于6的相邻素数差就必然会产生4 生素数组(当然要有前提条件，就是有个必要条件)。
下面就看利用欧几里得的证明方法：
证明方法二：
证明：前面两个数列中把对应项都是素数的，看作一个素数，把素数对看作一个素数，而把
合数对和半对子都看作合数，因为合数对和半对子都含有素因子。
这样就是看作一个数列了。由于是奇数数列，不含有素因子 2 的，且公差是 2。
用欧几里得的方法:
假设素数（素数对）是有限的，假设素数只有有限的 n 个，最大的一个素数是 p。
设 q 为所有素数之积(除了 2 的)加上 2，那么，q=（ 3×5×…×p ）+2 不是素数。

那么，q 可以被 3、5、…、p 中的数整除。
而 q 被这 3、5、…、p 中任意一个整除都会余 2，不能整除 q，与假设矛盾。
所以，素数（素数对）是无限的。
则差为 2 的素数对是无限的，就是孪生素数对是无限的，证毕！

同理，我们可以得到和证明：差为4， 6， 8，10，……，2n 的素数对都是无穷多的。
从而得到差定理：任意两个奇素数的差（包括自身相减）可以表示全体偶数。
3， 差定理和和定理的证明：
差定理：任意两个奇素数的差（包括自身相减）可以表示全体偶数。
差定理的证明：
比如如下数列：
2n+1： 3，5，7，……
2n+2m+1：3+2m，5+2m，7+2m，……
对应项差为 2m，可以严格证明（我可以用多种方法证明，比如用欧几里得反证法）这两个
数列中含有无穷多对素数对，而 2m 为全体偶数，m 可以等于 0，这就是差定理。2m 就是所
有，就是全体偶数。下面用欧几里得法证明：
证明：把前面两个数列中的素数对当做素数，其他数对当做合数，则变为一个奇数数列，设
数列中素数是有限的（据证法 1 的原理，只要相邻素数存在大于 2 的差就不会没有素数对，
所以，不用设定没有素数对的情况）或者从 q 后面没有素数(就是没有素数对)，设
q=3*5*7*……*p+2，则该项除以 p 内的奇素数余数都是 2，不能被 p 内的素数整除，与假设
矛盾，所以，q 要么是素数要么能被大于 p 的素数整除，新素数的第一次出现是作为素数出
现在该数列中的，所以，该数列中素数是无限的，就是素数对是无限的，差定理得证。
从而推导和证明和定理（就是哥德巴赫猜想）：任意两个奇素数的和可以表示大于 4 的全
体偶数，而4=2+2。
证明：
设 p3>=p2>=p1>=3，由差定理知 p2-p1={0，2，4，……}，则有 p2=p1+{0，2，4，……}（等
式含义:等式左边为素数，显然右边不是≥3 的全体奇数，那些偶数是与不同的 P2 对应的特
殊偶数集合，如 3+0，2，4 为素，7+(4，6)为素，……，与 3，7 等等对应的，这些特殊的
偶数集合的并集为全体偶数，即(0，2，4)U(4，6)U……=全体偶数）。由于 p1，p2，p3 各

自集合无区别，则有 p2+p3=2p1+{0，2，4，……}（这里的 0，2，4，……已是打破特殊集
合界线的一个大集合即全体偶数，就是相当于在子集的并集组成的大集合中任意选两个相加
包括自己相加，如一个选 0，另一个遍历 0～2n 的全体偶数得到还是全体偶数），又因为
2p1>=6，4=2+2.故，命题成立。
证毕！（和定理就是哥德巴赫猜想）则哥德巴赫猜想得证！

欧几里得是 2 千多年前的人物，所以，此方法 2 千多年前就发现了，故哥德巴赫猜想和孪生
素数猜想都不是难题。
哥德巴赫猜想和孪生素数猜想是简单的。很容易证明。
不仅差为 2，4，6，8，……，2n 的素数对都有无穷多，而且差为 2，4，6，8，……，2n
的相邻素数对都有无穷多（这一点在后文证明），这个是已经证明的定理！证明我早已经发
表在数学中国论坛了！
结论：
有了这个定理就可以推导证明出下面两个定理：
1..两两奇素数的差可以表示全体偶数。
2..两两奇素数的和可以表示大于 4 的全体偶数，而4=2+2.（这就是哥德巴赫猜想）
孪生素数对是差 2 的素数对，除了 3，5，7 这一组外，孪生素数对的间距都是大于等于 4
以至无穷，没有上限，而间距为 4 的孪生素数对也是直到无穷大都存在的，有无穷多的。这
两点并不矛盾。