牛顿和（Newton's Sums）

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牛顿和（Newton's Sums）

原创 Wittt ECONOMICS RULES 2024 年 07 月 06 日 00:21 重庆



今天谈谈在多项式计算应用很广的牛顿和（Newton's Sums），也称为牛顿恒等式（Newton's identities），描述了幂和对称多项式和初等对称多项式此两种对称多项式之间的关系。

牛顿在不知道阿尔伯特·吉拉德先前的成果下，于约 1666 年发现这些恒等式。这些恒等式目前已被应用在许多数学领域，如伽罗瓦理论、不变量理论、群论、组合学，也被进一步应用于数学之外，如广义相对论。

本文介绍牛顿和简单的版本。



现在利用牛顿和来解几道有趣的题目。

第一题：



第二题



当然这两道题都可以用其他方法做出来，比如第一道直接二项式定理就可以搞定，第二道利用方程或者三角函数的性质也是可以解出来的。不过都需要一定的技巧，相反牛顿和的思路则比较简单，在解类似的题目时可以做到事半功倍。



牛顿真是个天才！