平面几何的三角方法：正弦定理

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平面几何的三角方法：正弦定理

原创 娄文 欧拉数学荟 2024 年 06 月 13 日 17:24 广东



在上一篇文章《平面几何与图形的逻辑美》里，我主要介绍和讨论的是纯几何方法。同时，我也在文末概述了解析几何解法的思路。

事实上，解决几何问题，除了纯几何方法和解析几何，还有第三个工具——三角方法。上文中也有留言指出，文中所讨论的问题就可以用三角方法求解。

三角方法的核心是三角函数——通过三角函数建立长度和角度之间的关系。三角方法无需建立坐标系，所以不属于解析几何。

平面几何和解析几何各自都有一套系统的概念，并且建立了庞大的公式和定理库。相对而言，三角方法的奠基概念就是几个三角函数，公式的数量也不多。

三角方法的这种“先天不足”，使得它不能像前两种方法那样，成为通用型的几何方法。

三角方法中两个常用的重要公式是正弦定理和余弦定理，本文将讨论前者。正弦定理刻划了三角形的三边和三角的关联性，并且形式很对称，是一个优美的公式，如下图。



通常在表述正弦定理时，不会写出这三个相等的比值的意义。事实上，这个公共值恰好是三角形的外接圆直径。为了证明这个性质，我们考虑圆 O 内任一条弦 AB ，如下图。



在圆周上另外任取一点 C ，然后连接 AC 和 BC 。我们下面证明

AB/sin∠ACB=2R 。

注意到弦 AB 把整个圆周分割为两段圆弧。当点 C 在同一段圆弧的不同位置取时，所得的 ∠ACB 的角度都相等；然而，在两段圆弧上取点 C 所得的 ∠ACB 的角度并不相等。事实上，上图中的 ∠ACB 和 ∠AC'B 互补，即

∠ACB+∠AC'B=180° 。

由正弦函数的性质，互补的角的正弦值相等，即

sin∠ACB=sin∠AC'B 。

所以我们可以不妨设 ∠ACB≤90° 。



连接 AO 和 BO ，则 ∠AOB=2∠ACB（同一条弦所对的圆周角是圆心角的两倍）。过 O 作 AB 的垂线交 AB 于点 D 。由于 AO=BO ，所以 OD 平分边 AB 和角 ∠AOB 。再由正弦函数定义，

sin∠AOD=AD/AO 。

而 AD=AB/2 ，AO=R 。所以

sin∠AOD=AB/(2R) ,

另一方面，∠AOB=2∠AOD ，所以 ∠ACB=2∠AOD ，从而

sin∠ACB=AB/(2R) 。

我们把上面的结论完整表述如下：设 AB 为圆的任意一条弦，C 为圆周上不同于 A，B 的另一点，则 AB/sin∠ACB=2R ，其中 R 为圆的半径。

注意到，对任意三角形和它的外接圆，三角形的任一条边和它的对角正好对应上面命题中的弦 AB 和 ∠ACB 。由此即可推出正弦定理。

现在回到《平面几何与图形的逻辑美》一文中的问题。由于正弦定理建立了三角形的边、角和其外接圆直径的关联性，因此我们无需作出直径，而只要计算三角形的某一条边和其对角的正弦值的比。



如上图，连接 AD 和 BD ，则 △ABD 是圆的内接三角形。利用勾股定理不难求出 BD=17 ，AD=25 。根据已知条件，△ABD 的三个内角中，相对容易计算正弦值的是 ∠ABD 。

由于 ∠ABD 和 ∠BDC 互补，所以 sin∠ABD=sin∠BDC 。而 sin∠BDC=15/17 ，因此

2R=AD/sin∠ABD=85/3 。

不难发现，当 AB, BC, CD 的长度取其他（合理的）数值时，上面的解法仍然适用。也就是说，前文中对这个问题推广后的一般问题。

最后做一个简单的小结。

在这个几何问题上，三种方法都发挥了它们应有的效力，解答过程都很简洁。

平面几何（以及延伸出来的立体几何）是解决几何问题的经典工具，处理以多边形和圆为代表的基本几何图形的能力很强，并且展现出独特的艺术性和美感。

然而，当人们的关注点开始转向更复杂的几何形状，例如螺旋线、二次曲线时，纯几何方法就变得捉襟见肘了，即使用上很多高难度技巧，也只能处理一些相对简单的情形。

解析几何是用代数工具系统性地解决几何问题的方案，其基本思想是建立直角坐标系，把几何对象和几何关系转换为关于坐标的代数表达。

这种革命性的思想成功地突破了纯几何方法的瓶颈。并且，随着代数方法本身的不断发展壮大，也为拓展和丰富解析几何的理论提供了强大的动力。

三角方法，如前文所述，并非通用的几何工具。但对于特定条件的问题可以提供有别于前两种方法的独特思路。

三角函数作为一类特殊函数，本身可以建立起一套独立的理论，并与数学的其他理论体系相结合。几何学的三角方法就是一个典型的例子。此外，函数论中著名的傅里叶分析，也是在三角函数系上搭建起来的一个庞大的理论架构。