非欧几里得几何：双曲几何和椭圆几何

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非欧几里得几何：双曲几何和椭圆几何

原创 Genawaken 王根的数学物理分享 2024 年 06 月 02 日 08:31 浙江

非欧几里得几何（Non-Euclidean Geometry）是研究在不满足欧几里得第五公设（平行公设）的空间中的几何结构和性质的几何学分支。非欧几里得几何主要包括两种类型：双曲几何和椭圆几何。

双曲几何（Hyperbolic Geometry）

在双曲几何中，通过给定点外的一条直线有无穷多条平行线。双曲几何的空间具有负曲率。

双曲几何的基本性质和数学公式

1. 平行公设：双曲几何的平行公设表述为：通过给定直线外的一点，有无穷多条直线与该直线不相交。

2. 双曲平面模型：

● Poincaré 圆盘模型：在 Poincaré 圆盘模型中，双曲平面被表示为单位圆盘内部的点，直线为圆盘内的弧线（与边界正交的圆弧）或通过圆盘直径的线段。
度量公式：



● 上半平面模型：在上半平面模型中，双曲平面被表示为复平面上虚部大于零的点，直线为半圆（以实轴为直径的半圆）或垂直于实轴的直线。度量公式：



3. 面积公式：双曲几何中，三角形的面积与其内角和相关。设一个双曲三角形的内角为 α,β,γ ，其面积 A 为：



其中，所有角度以弧度为单位。

椭圆几何（Elliptic Geometry）

在椭圆几何中，通过给定点外的一条直线没有平行线。椭圆几何的空间具有正曲率。

椭圆几何的基本性质和数学公式

1. 平行公设：椭圆几何的平行公设表述为：通过给定直线外的一点，没有任何直线与该直线平行。

2. 椭圆平面模型：椭圆几何可以通过在球面上定义几何关系来实现，通常称为球面几何。

● 球面模型：在球面模型中，直线被表示为大圆，即通过球心的平面与球面的交线。度量公式：



其中，r 是球的半径，θ 和 φ 是球坐标。

3. 面积公式：在球面几何中，球面三角形的面积与其内角和相关。设一个球面三角形的内角为 α,β,γ ，其面积 A 为：



其中，所有角度以弧度为单位，R 为球的半径。

非欧几里得几何中的一般性质

1. 三角形内角和：

● 在欧几里得几何中，三角形的内角和为 180 度（弧度）。

● 在双曲几何中，三角形的内角和小于 180 度。

● 在椭圆几何中，三角形的内角和大于 180 度。

2. 曲率：

● 双曲几何具有负曲率。空间中每一点的高斯曲率 K 为负值。

● 椭圆几何具有正曲率。空间中每一点的高斯曲率 K 为正值。

3. 平行线的行为：

● 在双曲几何中，通过一点外的给定直线有无穷多条不相交的直线。

● 在椭圆几何中，通过一点外的给定直线没有任何平行线。

总结

非欧几里得几何挑战了欧几里得几何的直观和经典公设，揭示了不同类型的几何结构和空间性质。通过研究双曲几何和椭圆几何，数学家们扩展了对几何和空间的理解，为现代物理学中的广义相对论和宇宙学提供了理论基础。

Genawaken