分析一道数列与不等式结合的难题

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分析一道数列与不等式结合的难题  

来源：怎么学数学2024年7月10日河南（本论坛数学期刊）

题：已知数列{an}的首项a1=3/5，a(n+1)=3an/(2an+1)， n∈N+.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)证明：对任意的x＞0，an≥1/（1+x）-(2/3 ^n-x)/（1+x）^2， n∈N+；

(3)证明：a1+a2+...+an＞n^2 /(n+1) .

思路：(1)由a(n+1)=3an/(2an+1)有 ，1/a(n+1) -1=(1/an-1)/3 (q=1/3的等比数列)，

故，1/an-1=（5/3-1）(1/3)^(n-1)= 2/3 ^n，即an=3^n /(3^n+2).

(2)对任意的x＞0，欲证明an≥1/（1+x）-(2/3 ^n-x)/（1+x）^2， n∈N+；  

只需证明an≥1/（1+x）-(1/an-1-x)/（1+x）^2，

即只需证明an≥2/（1+x）-1/[an（1+x）^2] ,或[（1+x）an-1]^2≥0.

而 [（1+x）an-1]^2≥0恒成立，且步步可逆，证毕.  

(3)显然,1/a1+ 1/a2+...1/an=n+2(1/3+1/3^2+...+1/3^n)=n+1-1/3^n＞n[1/(a1a2...an)]^(1/n)，

即 n(a1a2...an)^(1/n)＞n^2/(n+1-1/3^n)＞n^2/(n+1) (ai≠aj，算术平均数大于几何平均数).

又a1+a2+...+an＞n(a1a2...an)^(1/n)，故a1+a2+...+an＞n^2 /(n+1) .