抽象代数——群的概念简介

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抽象代数——群的概念简介

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 07 月 22 日 07:30 陕西

群的概念很奇怪而且很抽象。它的历史则更加复杂。考虑到这一点，我们从头开始“发明”群，其动机是简单的数学原理。不过要注意的是，这不是对群的历史的准确描述，想要查找这段历史的话，需要借助互联网，那里有更多详细的信息。

数学家总是喜欢将事物抽象化。抽象带来简单性：数学家可以提取基本信息，抛弃不必要的细节，并使用一个逻辑结构总结各种不同的概念。

例如，我们将数量抽象为数字，数字可以用来描述各种各样的事物。我们有整数集，可以分为正数、负数、偶数、奇数、质数、合数等。我们从分数中得到有理数，从数列的极限中得到实数。

这些数字具有相似的性质：乘以 1 得到自身，乘以 0 得到 0 ，加 0 也得到自身。此外，它们还具有一个有用的性质，即任何实数的平方都是非负数，这一基本性质产生了各种概念，例如柯西不等式。

然后我们得到二次方程。这些方程自然源自数学物理模型，但这里我们会看到一些问题，一些二次方程竟然在实数中没有解，因为它们的平方不是非负数，例如 x^2+1=0 这个耳熟能详的例子。



因此，为了解释这种现象，我们引入了虚数，这些虚数（与实数一起）被归纳为复数集。到目前为止一切都很好，但非数字呢？

数学中有一些对象也并不全是数字，例如多边形，矩阵，函数等等，这些概念并没有在复数集中体现出来，自然，我们希望有一个结构来概括这些共同的属性。我们希望它满足以下条件：具有整数的“优良”属性（可能是最自然的数学概念），有一个中心不变的元素，围绕这个中心，一切事物围绕这个中心都有对称性，而数学上的群（几乎）都满足这些条件。

群的定义

群是一个抽象的数学概念，因为只有足够抽象的结构才能提取出各种共同属性。群由两部分组成：集合 G 和这个集合上运算 * 。具体来说，* 是二元运算：



此外，一个群还必须满足下列性质：它有一个恒等元素 e ，使得对于 G 中的任何元素 g ，



* 是结合的，对于任何元素 a，b，c ，它们都满足



最后，任何元素 g 都必须有一个逆 h ，使得



不难证明，加法下的整数集和乘法下的非零有理数集都是群的例子。自然地，你会认为一个运算是可交换的，但我们将证明并非所有群都有可交换运算。在数学上把运算具有交换性的群，叫做阿贝尔群（以纪念数学家尼尔斯·阿贝尔）。



由于数学家可能很懒，我们将省略操作 * 。对于特定情况，运算 * 通常很明显。



一些例子

如果我们举一些例子，也许群的概念会更容易理解：复数集合 {1,-1,i,-i} 具备乘法运算时是一个群。整数集合在具备乘法运算时不是群（想一想为什么？）。这表明集合是否形成群不仅取决于集合中的元素，还取决于对该集合进行的运算。

由 {0,1,2,…,n-1} 组成的模 n 整数集在模 n 加法下形成一个群。2n 阶二面体群是正 n 边形的对称群（包含旋转和反射）。在这种情况下，运算是任意旋转和反射的组合。你应该验证该群是否是非阿贝尔群。





基本性质

在阅读以下部分之前，先尝试回忆一下群的定义，看看你能找到什么。记住要抽象地思考，尽量不要把自己限制在具体的例子上（虽然通过具体的例子思考也是学习数学的好方法）。现在我们将展示一般群的一些共同性质及其证明。

● 每一个群都有其唯一的单位元素。

证明：假设一个群有两个单位元，分别称为 e 和 e' 。根据定义，对于该群中的任何元素 a、b ，我们总是有 ae=a 和 e 'b=b 。现在我们取 a=e' , b=e 则 e'e=e' 和 e'e=e ，因此 e=e' 。

● 右消去律：若 a，b，c 属于同一个群，则命题 “a=b”与“ac=bc”等价。

证明：为了证明语句 1 蕴含语句 2 ，请将两边右乘 c 。为了证明 2 蕴含 1 ，请将两边右乘 c 的逆，并利用群的结合律即可。类似的 a=b 和 ca=cb 也是等价的。（左消去律）

● 群的每一个元素都有唯一的逆。

证明：假设 g 有两个逆元素 h 和 h' ，则 gh=e=gh' 。将右消去律应用于 gh=gh' 可得到所需结果。

我们已经证明了单位元和逆元素的唯一性，我们要给它们一个特定的符号，来标识这种独一无二的身份，我们用数字 1 标识单位元，g^{-1} 标标识 g 的逆元素，如下所示：



● 设 G 为群, a,b 两个元素属于 G ，则有



证明：



再使用一下左消去律就可以得到所需结论。

如果你有什么困惑，请在评论区告诉我，我们下期见！

围城里的猫