从几何的角度来建立对分部积分的理解

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从几何的角度来建立对分部积分的理解

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 07 月 25 日 07:30 陕西

作为一名老师，我们可能时常会问自己，我如何帮助我最聪明的学生成为一名数学家，当我们问这样的问题的时候，又不免想起，自己学习数学的时光。

我意识到大部分数学课程都是以死记硬背和公式化的方式灌输给学生的。他们被给予针对特定类型问题的标准方法和公式，并一遍又一遍地练习这种方法，以便在考试中出现时能够有效地使用它。

但遗憾的是学会公式化问题并不一定能帮助你充分理解和领会你所学概念的含义。如果你不完全理解你所学概念的含义，你就不知道如何在陌生的领域应用这些概念。

要想成为一名伟大的数学家，你必须在不熟悉的领域进入更高的层次。在这种情况下，如果你不能正确理解公式的实际含义，公式对你没有帮助。所以，思考如何以一种让学生超越公式并帮助他们理解公式含义的方式来教授一个常见的数学主题变得十分重要。

分部积分

在微积分中，一种非常常见的方法是分部积分法。这种方法在偏微分方程中也被发扬光大，甚至我曾经听到过某些言论，认为偏微分方程就是关于分部积分的学问，我对偏微分的研究现状并不是很了解，因此难以准确判断，但不管怎样分部积分法是用于对某些函数乘积进行积分的公式。给定一个函数 v(x) 和另一个函数 u(x) 的导数 du/dx ，我们可以使用此公式来帮助计算它们乘积的积分：



这里会有一些标准的事例，感兴趣的可以自己找来练习，我们顺便给出它的严格证明：



尽管我们可以把这个公式写的很漂亮，但我从未真正尝试过以任何其他方式理解这个公式，换句话说我只是简单地记住它。在这期推送中，我们想要给这个公式赋予一些几何意义，我相信这有助于我们更深入地理解这个概念。

从几何角度理解分部积分

假设我们有一个函数 f(x) ，我们想在 x=a 和 x=b 之间对这个函数求积分。即，函数 f(x) 的图像在 x=a , x=b 下所围成的面积。为简单起见，我们将所有内容保留在笛卡尔空间的第一象限中，因此 0≤a＜b 。我们还假设 f(x) 是一个正的、连续增加的函数，因此 f'(x)≥0 。图像如下：



现在，我们也可以换一种方式思考。设 α 为 f(a) 的值，设 β 为 f(b) 的值。并在几个不同的区域做标记：



面积 A 是积分的值，另一种计算方法是取大矩形的面积，然后减去面积 B 和 C 。事实上，这正是分部积分所做的。让我们看看具体的计算。简单地重写积分（区域 A），如下所示：



现在我们取 v=f(x) 和 du/dx=1 ，然后利用分部积分公式，我们得到：



我们可以看到，bβ 是大矩形的面积，aα 是面积 C 。现在让我们看看最后的积分。我们记 f'(x)=dy/dx ，这样就有：



现在很明显，这个积分相当于我们图片中的面积 B 。因此，我们可以将分部积分解释为计算曲线下面积的几何间接方法，即通过减去矩形的不同部分，从而保留感兴趣的面积。事实上这种解释可以被抽象化一般化，我们给出抽象化的过程：





上面我们都是在二维中做的，也可以更高维度中来解释，比如我们考虑下面这个积分



此积分表示通过绕 y 轴旋转 f(x) 曲线下方的面积形成的“甜甜圈”的体积。现在，如果我们使用相同的分部积分法，其中 v=f(x) 和 du/dx=x ，我们可以得出以下结果（使用与上一节相同的方法）：



第一项表示绕 y 轴旋转大矩形形成的圆柱体的体积。第二项表示绕 y 轴旋转区域 C 形成的圆柱体的体积，最后一个积分项是绕 y 轴旋转区域 B 形成的体积。同样，我们可以将分部积分理解为一种间接确定旋转形状体积的方法，即取圆柱体的体积并从中减去部分。

现在你是否对分部积分有了更深层次的理解呢？



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