填满空间的曲线——皮亚诺曲线

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填满空间的曲线——皮亚诺曲线

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 07 月 27 日 07:31 陕西

给你一条曲线，给你一个空间，你能做什么？我个人认为这个问题的答案是填充,在空间中填充曲线，可问题是，你能想象只要一条连续的曲线，我们就能填满一个单位正方形吗？



答案是肯定的，这类曲线还有个专门的名称，叫做——空间填充曲线，到今天已经有五花八门的变体了，但最原始的版本就是我们刚才论述的，一条经过单位正方形每个点的连续曲线，如果要用数学表达的话皮亚诺曲线就是一个连续的满射 γ ：[0，1]→[0，1]^2 ，注意这里我们并没有要求可微性，所以曲线允许有尖角。直观地去理解，就是有一条一维的曲线，结果却是填满二维的平面。

第一条空间填充曲线是由皮亚诺于 1890 年设计的。不过在他原始的论文中并没有给出这条曲线的图片。一年后，基于皮亚诺的工作，希尔伯特提出了一种略有不同的构造，并附上了图片。

                                                                                                                              

在今天希尔伯特曲线在互联网上的搜索量大概是皮亚诺曲线的20倍，尽管我也常说一图胜千言，图片似乎在数学中很重要，但这里面的真正思想要归功于皮亚诺。

为什么皮亚诺和希尔伯特对这类空间填充曲线会感兴趣？这其实都是源于康托在皮亚诺发表论文前不久，康托就开始了对无穷的探索，并留下了那句“我看到了，但我不相信”的名言。



康托通过它巧妙的技术证明了单位闭区间 [0,1] 和单位正方形 [0,1]×[0,1] 之间不可能存在连续的双射，但如果我们放松要求，是否有可能创建一个连续的满射，即单位正方形中的每一点都可以被一条连续的曲线的打到，皮亚诺在他的论文中给出肯定的回答。

不仅如此，皮亚诺指出他所构造的函数不可微。后来证明，不存在这样的可微函数。因此皮亚诺事实上给出了处处连续但处处不可导的曲线。为了更好地理解康托的思想，皮亚诺和希尔伯特做起数学试验，他们用例子来测试想法，并把这些想法推到极限，然后看看发生了什么。

皮亚诺曲线的本质事实是一个连续函数列一致收敛的极限，由分析学的知识我们知道这个极限也是连续函数，但具体的构造涉及一些太过技术的细节，大家也没有什么兴趣，这里我们就略过了。

我们可以给出一些做法上的不精确描述：取一个正方形并且把它分出九个相等的小正方形，然后从左下角的正方形开始至右上角的正方形结束，依次把小正方形的中心用线段连接起来；下一步把每个小正方形分成九个相等的正方形，然后上述方式把其中中心连接起来……。将这种操作手续无限进行下去，最终得到的“极限情况的曲线”就被称作皮亚诺曲线。



这样奇怪的东西带来一些传统观念上的冲击，在传统概念中，曲线的维度是 1 ，正方形维度是 2 ，且 1 维的曲线直觉上不能填满 2 维的正方形。但是皮亚诺曲线给出了反例。这说明我们维数的认识是有缺陷的，有必要重新思考维数的定义。这就是分形几何研究的问题了。好了，今天就到这，我们下期见。

围城里的猫