已知三角形两条高分别为 h1 和 h2，求第三条高 h3 的取值范围

中国上海市

三角形两条高分别为h1和h2，问第三条高的取值范围

lihp2020

一样吧  两边之和 大于第三边？？

ataorj

h3范围：(0,∞)，几何画板观察方法：
做两条平行的水平线p和q，下面的q上用于放底边AB，上面的p上放顶点C：
pq间距离就是h1，q上取一点A，做任一圆A，半径r就是h2，圆A上取一点D切线交q于B，交p于C，做AC边上的高h3以做观察，
圆A最高点E，最低点F，动点D接近E时h3无穷大，接近F时h3无穷小。期间是连续变化的。

luyuanhong

cgl_74

4楼陆老师的解答是有不完整的。或者说4楼给的范围只是一个必要条件。在这个范围的h1/h2/h3也许并不能给凑出一个三角形。
正确答案是比这个范围要小。
一些限制条件，4楼的解法没有考虑。比如a边长是一定大于等于b对应的高h2的。

一个可行的解法是，给定h1, h2，把边长a作为参数（a>=h2），把b边长算出，确定出来的三角形可能有2种，分别算出三角形的第3条高h3=f(h1, h2,a)。对这个函数求条件极值即可。

cgl_74

cgl_74 发表于 2024-9-3 19:09
4楼陆老师的解答是有不完整的。或者说4楼给的范围只是一个必要条件。在这个范围的h1/h2/h3也许并不能给凑出 ...

严谨地说，我也不能说4楼的结论一定是错误的。只是一个完整的解法应该说明，满足条件的值一定能构成一个三角形。4楼没有这个证明。

王守恩

陆老师的结论是对的。

已知三角形两条高分别为 ha 和 hb, 求第三条高 hc 的取值范围。

1. Table[N[Solve[{ha*a == hb*b == hc*c == Sqrt[(a + b + c) (c + a - b) (b + c - a) (a + b - c)/4], a > 0}, {c, b, a}], 10], {ha, 4, 4}, {hb, 5, 5}, {hc, 1, 25}]

复制代码

ha=4,hb=5,hc=1,  {},
ha=4,hb=5,hc=2,  {},
ha=4,hb=5,hc=3,  {{c -> 6.691522060, b -> 4.014913236, a -> 5.018641545}},
ha=4,hb=5,hc=4,  {{c -> 5.455447256, b -> 4.364357805, a -> 5.455447256}},
ha=4,hb=5,hc=5,  {{c -> 5.124100922, b -> 5.124100922, a -> 6.405126152}},
ha=4,hb=5,hc=6,  {{c -> 5.015742439, b -> 6.018890927, a -> 7.523613659}},
ha=4,hb=5,hc=7,  {{c -> 5.003353578, b -> 7.004695009, a -> 8.755868762}},
ha=4,hb=5,hc=8,  {{c -> 5.047946574, b -> 8.076714518, a -> 10.09589315}},
ha=4,hb=5,hc=9,  {{c -> 5.135840770, b -> 9.244513385, a -> 11.55564173}},
ha=4,hb=5,hc=10,{{c -> 5.263613560, b -> 10.52722712, a -> 13.15903390}},
ha=4,hb=5,hc=11,{{c -> 5.433673566, b -> 11.95408185, a -> 14.94260231}},
ha=4,hb=5,hc=12,{{c -> 5.653337711, b -> 13.56801051, a -> 16.96001313}},
ha=4,hb=5,hc=13,{{c -> 5.935826504, b -> 15.43314891, a -> 19.29143614}},
ha=4,hb=5,hc=14,{{c -> 6.303381292, b -> 17.64946762, a -> 22.06183452}},
ha=4,hb=5,hc=15,{{c -> 6.794342762, b -> 20.38302829, a -> 25.47878536}},
ha=4,hb=5,hc=16,{{c -> 7.479902846, b -> 23.93568911, a -> 29.91961138}},
ha=4,hb=5,hc=17,{{c -> 8.509980147, b -> 28.93393250, a -> 36.16741563}},
ha=4,hb=5,hc=18,{{c -> 10.27485803, b -> 36.98948890, a -> 46.23686113}},
ha=4,hb=5,hc=19,{{c -> 14.33197781, b -> 54.46151569, a -> 68.07689461}},
ha=4,hb=5,hc=20,{},
ha=4,hb=5,hc=21,{},
ha=4,hb=5,hc=22,{},
ha=4,hb=5,hc=23,{},
ha=4,hb=5,hc=24,{},
ha=4,hb=5,hc=25,{}

1. Table[N[Solve[{ha*a == hb*b == hc*c == Sqrt[(a + b + c) (c + a - b) (b + c - a) (a + b - c)/4], a > 0}, {c, b, a}], 10], {ha, 5, 5}, {hb, 5, 5}, {hc, 1, 30}]

复制代码

ha=5,hb=5,hc=1,  {},
ha=5,hb=5,hc=2,  {},
ha=5,hb=5,hc=3,  {{c -> 9.045340337, b -> 5.427204202, a -> 5.427204202}},
ha=5,hb=5,hc=4,  {{c -> 6.405126152, b -> 5.124100922, a -> 5.124100922}},
ha=5,hb=5,hc=5,  {{c -> 5.773502692, b -> 5.773502692, a -> 5.773502692}},
ha=5,hb=5,hc=6,  {{c -> 5.500190982, b -> 6.600229179, a -> 6.600229179}},
ha=5,hb=5,hc=7,  {{c -> 5.353033790, b -> 7.494247306, a -> 7.494247306}},
ha=5,hb=5,hc=8,  {{c -> 5.263613560, b -> 8.421781695, a -> 8.421781695}},
ha=5,hb=5,hc=9,  {{c -> 5.204834388, b -> 9.368701898, a -> 9.368701898}},
ha=5,hb=5,hc=10,{{c -> 5.163977795, b -> 10.32795559, a -> 10.32795559}},
ha=5,hb=5,hc=11,{{c -> 5.134360308, b -> 11.29559268, a -> 11.29559268}},
ha=5,hb=5,hc=12,{{c -> 5.112171874, b -> 12.26921250, a -> 12.26921250}},
ha=5,hb=5,hc=13,{{c -> 5.095101711, b -> 13.24726445, a -> 13.24726445}},
ha=5,hb=5,hc=14,{{c -> 5.081678060, b -> 14.22869857, a -> 14.22869857}},
ha=5,hb=5,hc=15,{{c -> 5.070925528, b -> 15.21277659, a -> 15.21277659}},
ha=5,hb=5,hc=16,{{c -> 5.062175977, b -> 16.19896313, a -> 16.19896313}},
ha=5,hb=5,hc=17,{{c -> 5.054958784, b -> 17.18685987, a -> 17.18685987}},
ha=5,hb=5,hc=18,{{c -> 5.048934421, b -> 18.17616392, a -> 18.17616392}},
ha=5,hb=5,hc=19,{{c -> 5.043852795, b -> 19.16664062, a -> 19.16664062}},
ha=5,hb=5,hc=20,{{c -> 5.039526307, b -> 20.15810523, a -> 20.15810523}},
ha=5,hb=5,hc=21,{{c -> 5.035811946, b -> 21.15041017, a -> 21.15041017}},
ha=5,hb=5,hc=22,{{c -> 5.032599120, b -> 22.14343613, a -> 22.14343613}},
ha=5,hb=5,hc=23,{{c -> 5.029801194, b -> 23.13708549, a -> 23.13708549}},
ha=5,hb=5,hc=24,{{c -> 5.027349509, b -> 24.13127764, a -> 24.13127764}},
ha=5,hb=5,hc=25,{{c -> 5.025189076, b -> 25.12594538, a -> 25.12594538}},
ha=5,hb=5,hc=26,{{c -> 5.023275426, b -> 26.12103222, a -> 26.12103222}},
ha=5,hb=5,hc=27,{{c -> 5.021572281, b -> 27.11649032, a -> 27.11649032}},
ha=5,hb=5,hc=28,{{c -> 5.020049804, b -> 28.11227890, a -> 28.11227890}},
ha=5,hb=5,hc=29,{{c -> 5.018683273, b -> 29.10836298, a -> 29.10836298}},
ha=5,hb=5,hc=30,{{c -> 5.017452060, b -> 30.10471236, a -> 30.10471236}},
......
ha=5,hb=5,hc= n, 直到永远。都有答案！

王守恩

陆老师的结论是对的。

已知三角形两条高分别为 ha 和 hb, 求第三条高 hc 的取值范围。

接楼上。简单一点。

1. Table[Solve[{ha*a == hb*b == hc*c == LCM[ha, hb, hc]}, {c, b, a}], {ha, 4, 4}, {hb, 5, 5}, {hc, 1, 25}]

复制代码

ha=4,hb=5,hc=1,  {{c -> 20, b -> 4,   a -> 5}}, x
ha=4,hb=5,hc=2,  {{c -> 10, b -> 4,   a -> 5}}, x
ha=4,hb=5,hc=3,  {{c -> 20, b -> 12, a -> 15}},
ha=4,hb=5,hc=4,  {{c -> 5,   b -> 4,   a -> 5}},
ha=4,hb=5,hc=5,  {{c -> 4,   b -> 4,   a -> 5}},
ha=4,hb=5,hc=6,  {{c -> 10, b -> 12, a -> 15}},
ha=4,hb=5,hc=7,  {{c -> 20, b -> 28, a -> 35}},
ha=4,hb=5,hc=8,  {{c -> 5,   b -> 8,   a -> 10}},
ha=4,hb=5,hc=9,  {{c -> 20, b -> 36, a -> 45}},
ha=4,hb=5,hc=10,{{c -> 2,   b -> 4,   a -> 5}},
ha=4,hb=5,hc=11,{{c -> 20, b -> 44, a -> 55}},
ha=4,hb=5,hc=12,{{c -> 5,   b -> 12, a -> 15}},
ha=4,hb=5,hc=13,{{c -> 20, b -> 52, a -> 65}},
ha=4,hb=5,hc=14,{{c -> 10, b -> 28, a -> 35}},
ha=4,hb=5,hc=15,{{c -> 4,   b -> 12, a -> 15}},
ha=4,hb=5,hc=16,{{c -> 5,   b -> 16, a -> 20}},
ha=4,hb=5,hc=17,{{c -> 20, b -> 68, a -> 85}},
ha=4,hb=5,hc=18,{{c -> 10, b -> 36, a -> 45}},
ha=4,hb=5,hc=19,{{c -> 20, b -> 76, a -> 95}},
ha=4,hb=5,hc=20,{{c -> 1,   b -> 4,   a -> 5}},x
ha=4,hb=5,hc=21,{{c -> 20, b -> 84, a -> 105}},x
ha=4,hb=5,hc=22,{{c -> 10, b -> 44, a -> 55}}, x
ha=4,hb=5,hc=23,{{c -> 20, b -> 92, a -> 115}}, x
ha=4,hb=5,hc=24,{{c -> 5,   b -> 24, a -> 30}}, x
ha=4,hb=5,hc=25,{{c -> 4,   b -> 20, a -> 25}}x
......

1. Table[Solve[{ha*a == hb*b == hc*c == LCM[ha, hb, hc]}, {c, b, a}], {ha, 5, 5}, {hb, 5, 5}, {hc, 1, 30}]

复制代码

ha=5,hb=5,hc=1,  {{c -> 5, b -> 1,   a -> 1}},x
ha=5,hb=5,hc=2,  {{c -> 5, b -> 2,   a -> 2}},x
ha=5,hb=5,hc=3,  {{c -> 5, b -> 3,   a -> 3}},
ha=5,hb=5,hc=4,  {{c -> 5, b -> 4,   a -> 4}},
ha=5,hb=5,hc=5,  {{c -> 1, b -> 1,   a -> 1}},
ha=5,hb=5,hc=6,  {{c -> 5, b -> 6,   a -> 6}},
ha=5,hb=5,hc=7,  {{c -> 5, b -> 7,   a -> 7}},
ha=5,hb=5,hc=8,  {{c -> 5, b -> 8,   a -> 8}},
ha=5,hb=5,hc=9,  {{c -> 5, b -> 9,   a -> 9}},
ha=5,hb=5,hc=10,{{c -> 1, b -> 2,   a -> 2}},
ha=5,hb=5,hc=11,{{c -> 5, b -> 11, a -> 11}},
ha=5,hb=5,hc=12,{{c -> 5, b -> 12, a -> 12}},
ha=5,hb=5,hc=13,{{c -> 5, b -> 13, a -> 13}},
ha=5,hb=5,hc=14,{{c -> 5, b -> 14, a -> 14}},
ha=5,hb=5,hc=15,{{c -> 1, b -> 3,   a -> 3}},
ha=5,hb=5,hc=16,{{c -> 5, b -> 16, a -> 16}},
ha=5,hb=5,hc=17,{{c -> 5, b -> 17, a -> 17}},
ha=5,hb=5,hc=18,{{c -> 5, b -> 18, a -> 18}},
ha=5,hb=5,hc=19,{{c -> 5, b -> 19, a -> 19}},
ha=5,hb=5,hc=20,{{c -> 1, b -> 4,   a -> 4}},
ha=5,hb=5,hc=21,{{c -> 5, b -> 21, a -> 21}},
ha=5,hb=5,hc=22,{{c -> 5, b -> 22, a -> 22}},
ha=5,hb=5,hc=23,{{c -> 5, b -> 23, a -> 23}},
ha=5,hb=5,hc=24,{{c -> 5, b -> 24, a -> 24}},
ha=5,hb=5,hc=25,{{c -> 1, b -> 5,   a -> 5}},
ha=5,hb=5,hc=26,{{c -> 5, b -> 26, a -> 26}},
ha=5,hb=5,hc=27,{{c -> 5, b -> 27, a -> 27}},
ha=5,hb=5,hc=28,{{c -> 5, b -> 28, a -> 28}},
ha=5,hb=5,hc=29,{{c -> 5, b -> 29, a -> 29}},
ha=5,hb=5,hc=30,{{c -> 1, b -> 6,   a -> 6}}}}}
......
ha=5,hb=5,hc= n, 直到永远。都有答案！

cgl_74

王守恩 发表于 2024-9-4 17:23
陆老师的结论是对的。

已知三角形两条高分别为 ha 和 hb, 求第三条高 hc 的取值范围。

你发的内容，我没看懂啥意思。但不是证明，是在举例吧。
这个题目我具体做了下，解法也是典型的最值求法。你要是肯学，这么久了肯定也会了。
结论呢，确实4楼的结论是对的。但我的解法是所见即所得，能够很清楚看出在哪种情况下取最大值和最小值。

最大值和最小值，都是在边长趋于无穷大时，2种不同的形状下取最大值和最小值，所以值域是开区间。

ataorj

做轨迹，把全部h3平行移动到一处，使它们的垂足重合于一点O，则另一端点围成的是个圆。注意，O不是圆心Z。Z与h3的最大最小值有关，OZ=(大+小)/2-小。