数学之美：几何视角下的高斯积分（Gaussian Integral）

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数学之美：几何视角下的高斯积分（Gaussian Integral）

原创 Long Luo 好奇的程序员 2024 年 07 月 19 日 07:08 广东



什么是高斯积分？



极坐标系法



转换坐标系



为什么  dxdy = rdrdθ ？



求解积分



3D 钟形曲面下的体积



沿着 y 轴方向进行切片



总结

高斯积分是最美积分之一，其结果是出人意料的 √π ，而 π 正是来自旋转对称性。通过之前的文章我们知道满足旋转对称性和各方向互相独立 2 个性质可以推导出正态分布，在 2 维钟形曲线等概率事件是在同一等高线形成的圆上，这就是圆的由来。

参考文献

1. [高斯积分 Gaussian Integral](https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral)

2. [高斯函数 Gaussian function](https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_function)

3. [圆周率 Pi](https://en.wikipedia.org/wiki/Pi)

4. [笛卡尔坐标系](https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system)

5. [极坐标](https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system)

6. [直角坐标与极坐标的互化中，为什么 dxdy=rdrdθ？](https://www.zhihu.com/question/368888687)

7. [Why π is in the normal distribution (beyond integral tricks)](https://www.youtube.com/watch?v=cy8r7WSuT1I)

8. [The Gaussian Integral, a Geometrically Annotated Proof](https://idan-alter.github.io/2023/02/20/Gaussian-Integral.html)

Long Luo