蝴蝶定理与坎迪定理

luyuanhong

蝴蝶定理与坎迪定理

原创 sinarcsin 形貌 2024 年 07 月 30 日 00:00 四川

蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，这个命题最早出现在 1815 年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944 年 2 月号，题目的几何图形象一只蝴蝶，便以此命名。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究。

定理

设 M 为圆内弦 PQ 的中点，过 M 作弦 AB 和 CD 。设 AD 和 BC 各相交 PQ 于点 X 和 Y ，则 M 是 XY 的中点。



这个命题最早作为一个征解问题出现在公元 1815 年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40 页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师 W.G.霍纳（他发明了求多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全用的是初等方法；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。

一种早期的证明由 M.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827 年）一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的 J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆 1956 ）给出，只有一句话，用的是线束的交比。1981 年，Crux 杂志刊登了 K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的证明方法（利用直线束，二次曲线束）。

该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广。当 M 不为中点时，推广后的结论称为“坎迪定理”

坎迪定理

在已知圆锥曲线中，设 M 是定弦 PQ 所在直线上的一点，过点 M 作两条任意弦 AB 和 CD ，若 AD 和 BC 分别交 PQ 于 X 和 Y ，则有



参考资料  https://zh.m.wikipedia.org/wiki/ ... 6%E5%AE%9A%E7%90%86

形貌