证明：曲线 ∣x∣^n+∣y∣^n=1（n≥2）围成图形的面积不小于 π

波斯猫猫

lihp2020

应该可以证明
1 绝对值 对称  就只考虑第一象限 曲线 改写成 y=f_n（x）
就是 求f_n(x)在(0,1)的定积分  明显 n=2是 定积分是Π/4 (也是可以证明的)

1 证明f_n(x)>f_2(x) 在(0,1)期间 对任意x 都成立  所以 定积分 就更大  面积就更大 大于Π/4  （猜测证明方法 两边同时 2*n次方  由于都是正数  符号不变 再二项式定理  约掉 一些  没有具体算）
2  Si >Sj  应该在读一下上面的证明结果 可以证明  F_i+1(x)>=f_i(x)  再来上面有 f_3(x)>=f_2(x) 就证明完了

都是猜测 应该思路没错 如果明天没其他回答 我再证明看看

ataorj

n=2时结果为π，所以只要当x属于(0,1),n>2，证明
(1-x^n)^(1/n)>(1-x^2)^(1/2)即可
两边2n次方后：
(1-x^n)^2>(1-x^2)^n
而这是显然的，证明略。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子中的图像，可供参考：