求 (xyz+1)/(x+1)=(yzw+1)/(y+1)=(zwx+1)/(z+1)=(wxy+1)/(w+1)，x+y+z+w=48 的正数解

popo987654

请教思路

王守恩

\(共2组解。没有第3组解?\)

\(第1组解。x=y=z=w=12\ (略)\)

\(第2组解。x=z=12+\sqrt{143},\ \ y=w=12-\sqrt{143}\)

\(\frac{1=x*y*z+1}{x+1}=\frac{y*z*w+1}{y+1}=\frac{z*w*x+1}{z+1}=\frac{w*x*y+1}{w+1}\)

\(比较分子分母。1=y*z=z*w=w*x=x*y=>y=w,x=z。\)

\(解方程组:x*y=1,x+y=24\ \ \ 可得第2组解。\)

王守恩

\(只2组解。没有第3组解。\)

\(第1组解。x=y=z=w=12\ (略)\)

\(第2组解。x=z=12+\sqrt{143},\ \ y=w=12-\sqrt{143}\)

\(1=\frac{x*y*z+1}{x+1}=\frac{y*z*w+1}{y+1}=\frac{z*w*x+1}{z+1}=\frac{w*x*y+1}{w+1}\)

\(比较分子分母。1=y*z=z*w=w*x=x*y\ \ =>y=w,x=z。\)

\(解方程组:x*y=1,x+y=24\ \ \ 可得第2组解。\)

在这电脑丰富的年代。我们的胆子要足够大！

王守恩

\(类似的题目。胆子要足够大！\)

\(x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=1,z^2(x-y)+y^2(z-x)+x^2(y-z)=0。\)

\(x+y+y=1,x^2+y^2+y^2=1,y^2(x-y)+y^2(y-x)+x^2(y-y)=0。(1)\)

\(x+y+y=1,x^2+y^2+y^2=1,y^2(x-y)-y^2(x-y)+x^2(y-y)=0。(2)\)

\(x+y+y=1,x^2+y^2+y^2=1。解得2组基本解:  x = -(1/3), y = 2/3 与 x = 1, y = 0。\)

\((1)。x=y=z行不通。总有2个是相等的不妨设y=z。\)

\((2)。y^2(x-y)-y^2(x-y)+x^2(y-y)=0。这是个多余的条件(恒等式)，丢了。\)

王守恩

\(类似的题目。胆子要足够大！\)

\(已知a=ab+c,  b=bc+a,  c=ca+b,  a,b,c互不相等,  求a+b+c？\)

\(a=ab+c，ab=ab^2+bc——(1)\)

\(b=bc+a，bc=bc^2+ca——(2)\)

\(c=ca+b，ca=ca^2+ab——(3)\)

\(由(1),(2),(3): ab^2+bc^2+ca^2=0—(4)\)

\(a=ab+c，1=b+c/a——(5)\)

\(b=bc+a，1=c+a/b——(6)\)

\(c=ca+b，1=a+b/c——(7)\)

\(由(5),(6),(7): a+b+c=3-(c/a+a/b+b/c)=3-(ab^2+bc^2+ca^2)/(abc)=3-0=3\)

波斯猫猫

题：求 (xyz+1)/(x+1)=(yzw+1)/(y+1)=(zwx+1)/(z+1)=(wxy+1)/(w+1)，x+y+z+w=48 的正数解.

有人称：在这电脑丰富的年代。我们的胆子要足够大！(那可是暴力数学方法)

思路：解个方程组居然要用到均值定理，感觉有点奇葩. 试看，耐着性子把分式化为整式，

xy^2z+xyz+y=xyzw+yzw+x ，             yz^2w+yzw+z=xyzw+zwx+y，

zw^2x+zwx+w=xyzw+wxy+z，           wx^2y+wxy+x=xyzw+xyz+w，

相加得，xy^2z+ yz^2w+zw^2x+ wx^2y=4xyzw.

因xy^2z+ yz^2w+zw^2x+ wx^2y≥4（xy^2z. yz^2w.zw^2x.wx^2y)^(1/4)=4xyzw，

故，必有xy^2z=yz^2w=zw^2x=wx^2y，或xy=zw，yz=wx，或x=z，y=w.

若z=y，即x=y=z=w，则x=y=z=w=12.

若z≠y，则由(xyz+1)/(x+1)=(yzw+1)/(y+1)，有(x^2y+1)/(x+1)=(xy^2+1)/(y+1)，

或xy=1，且x+y=24.解得x=12±√143，y=12±√143(x≠y).

故满足条件所有解为x=y=z=w=12，或x=z=12+√143，y=w=12-√143，

或x=z=12-√143，y=w=12+√143.  (x，y，z，w∈R+)

波斯猫猫

两点看法：
1，期待能看到不用均值定理等号成立的条件找到突破口。
2，传统方法的解法能看到数学的灵魂，它的逻辑过程
清晰、明明白白；而计算机的做法只能看到结果，中间
过程断然无知，可谓暴力。漂亮国人就是用暴力手段解
决四色猜想的，是首恶。