方法整理：双根式函数最值求法

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方法整理：双根式函数最值求法

原创 彭西东 素人素言 2024 年 08 月 03 日 10:49 安徽

函数的最值，是研究函数最核心的出口。

毕竟，无论做什么，我们所追求的，都是最大或最小，或多最多和最少。

但是，最值问题虽常见，但因为代数式特征的不同，其解法的思考层次也是各有不同的。

有些，实在是太难了。

所以，还是总结一些东西最重要。对于一些常见的函数式，还是要有些常规的路上的要求、和熟练。

因为最近讲基本不等式，遇到了双根式函数，同学的观后和熟练程度却各不相同。

所以就双根式的最值，今天做一下思路上的小汇总。

题



结构解读

我们都知道，代数变形的基本规则：“有根号的去根号”。

因此，无论是一个根式，抑或是多个根式的组合，如何去根号，都会是我们思考的重中之重。

本文围绕着如何去根号，做了一些思考，从而对这种函数的值域或最值问题的处理，提供了一些参考方法。

平方和到“三角换元”



根式下的自变量，系数不是相反数，是不能直接乘方的。

但也是一定可以变为相反数的。

所以就得到平方和为定值。那还等什么呢，果断三角换元了吧。

因此，这里的三角变换，就成为很多人的首选。

三角有界到“升幂开方”



去根号的方法之一，是配方。也就是将根式下的代数式写成完全平方式而已。

只是一次式的配方，当然也只有三角变换中的二倍角公式才能做到了。

所以，二倍角的余弦公式，有人也把它们叫作升幂和降幂公式。

当然，这里借助三角函数的有界性换元，也是值得大家借鉴的。

万能 K 法到“双换元”



所有去根号的方法中，也只有这样子直接换元，才是最快速的了吧。

其实也可以认为，这个方法就是上次提到的“万能 K 法”的变形。

双换元到“数形结合”



前一种双换元，是为了把求最值的问题，转化为方程解的存在性问题。

完全还是代数的角度。

所以才说是“万能 K 法”的变形。

而这里，因为有了圆锥曲线的底气，就直接变成了数形结合，利用切线来求得最值。

而且这个的优势还在于，它很容易的能同时找到最小值。

数形之间的“构造向量法”



构造向量，应该是我们学习了向量以后，最常见的思路了。

如果愿意的话，你也可以从数量积的几何意义上，求得该函数的值域的。

数量积到“柯西不等式”



能用向量解决的最值问题，往往都可以用柯西不等式。

毕竟，两者之间有着非常紧密的联系。

只是用数量积的几何意义，可以求得这个函数的值域。而柯西不等式，好象还是差了点。

但是由柯西不等式，我们还能得到另一个重要的不等式。



上面这个叫权方和不等式。

所以，权方和不等式，也应该可以试下了。

柯西不等式到“权方和”



毕竟是直接用了结论，这个过程就简洁明了的多了吧。

只是，是不是感觉和平时所用的，有一点小小的区别呢。

但也真的是，简洁啊！

所以，这么好用的权方和，还是有必要再稍加深入了解一下的。



有了上面这个小说明，相信你也应该发现了，为什么这里的解法，和平时有点小不一样了吧。

原来，不等号的方向，与指数的正负，还有着一定的联系呢。

奇思妙想的“对偶式”



对偶式，好象在三角函数当中是见过的。

在这里用到对偶式，也真的是有点奇思妙想了。

不过想一想也没啥。

毕竟，只要能够去根号，还有什么方式是不能接受的呢。

就比如下面这个角度，相信看了以后，会有很多同学惊掉下巴。

但同时又会觉得，是情有可原的吧。

神奇的“方差非负”



确实吧，从统计的角度切入，还能联想到方差的各种计算方式，是不是显得基本功就特别扎实呢。

所以说，数学的综合性，真的是太重要了。

压箱底的“导数法”



都知道，求最值实在没办法了，不管式子形式多么复杂，导数法都是值得一试的。

毕竟，只要能求导，只要会解方程，导数法确实是能横扫一切的。

所以，导数不首选，但一定会是，你的最后一根救命稻草。

写在最后

上面从去根号的角度，对于双根式函数的最值或者说值域的处理，提供了一些常见的思路。

彭西东

王守恩

\(方法整理,  一次到位。\)

\(求\ \sqrt{A-Bx}+\sqrt{x-C}\ \ 的最大值。\)

\(当\ x=\frac{A+B^2C}{B(B+1)}\ \ 时，\sqrt{A-Bx}+\sqrt{x-C}\ \ 的最大值=\sqrt{\frac{A-BC}{B/(B+1)}}。\)

\(譬如：求\ \sqrt{10-2x}+\sqrt{x-1}\ \ 的最大值。\)

\(当\ x=\frac{10+2^2*1}{2(2+1)}=\frac{7}{3}\ \ 时，\sqrt{10-2x}+\sqrt{x-1}\ \ 的最大值=\sqrt{\frac{10-2*1}{2/(2+1)}}=2\sqrt{3}。\)

王守恩

再简化。过程自理。

\(\sqrt{A-Bx}+\sqrt{x-C}\ 的最大值\ ≡\ \sqrt{D-Bx}+\sqrt{x}\ 的最大值\ ≡\ \sqrt{\frac{D}{B/(B+1)}}\)