施承忠小筛法分配率解析计算

小草 · 发表于 2024-9-20 19:46

施承忠小筛法分配率解析计算

过去和现在许多数学家都对小筛法作过研究，但结果都失败了，因为他们都得不到比较有价值的估计.
究其原因，主要是区域概念不明，区域混乱计算就没有价值.

所以要解决小筛法的精确估计，必须要有一个明确的区域，在这样的区域中去得到有用的估计.

我们将x定义在2^n的区间内.2^n=g(2^n)+π(2^n)=gn^n+hn^n.gn^n表示为被筛去的数，hn^n表示为剩余数.

pk表示第k个素数，gk表示第k个素数的合数.我们把g(2^n)记作1+∑(^1,_k)gk.此时gk表示此类合数的个数.其中2^n-π(2^n)=g(2^n).

因为√n≈√2n,把2^n分为N1和N2,则g(N2)≈g(N1).

经过计算：
当2^n>2^4时g(2^n)不会大于2^n-hn-1^n.

我们把gn^n中的gn称作gn^n的基或者底，我们把hn^n中的hn称作hn^n的基或者底.
筛法计算就是基于这种计算.

把π(2^n)表为hn-1^n+b^n.这时hn-1^n是可预知部分，b^n是不可预知部分.

x=2^2时，因为√2^2=2.所以在2^2中筛去所有2的合数和自然数1,
h2^2=1.414 213 562^2=2,g2^2=1.414 213 562^2=2.
g(2^2)=4-2=2.

x=2^3时，因为√2^3=2.828 427 125..所以在2^3中筛去所有2的合数和自然数1,
h3^3=1.587 401 052^3=4,g3^3=1.587 401 052^3=4.
这时候:
h2^3=1.414 213 562^3=2.828 427 1,去掉小数=2.但是π(2^3)=4.
所以π(2^3)=2+2≈h2^3+b^3≈1.414 213 562^3+1.259 921 050^3=4.
g(2^3)<8-2.828 427 1=5.171 572 9.

x=2^4时，因为√2^4=4.所以在2^4中筛去所有2和3的合数和自然数1,
h4^4=1.565 084 580^4=6,g4^4=1.778 279 410^4=10.
这时候:
h3^4=1.587 401 052^3=6.349 604 2,去掉小数=6,但是π(2^4)=6.
所以π(2^4)=6+0≈h3^4+b^4≈1.587 401 052^4+0=6.
g(2^4)>16-6.349 604 2=9.650 396.

x=2^5时，因为√2^5=5.656 854 249.所以在2^5中筛去所有2,3,5的合数和自然数1,
h5^5=1.615 394 266^5=11,g5^5=1.838 416 287^5=21.
这时候:
h4^5=1.565 084 580^5=9.390 507 5,去掉小数=9,但是π(2^5)=11.
所以π(2^5)=9+2≈h4^5+b^5≈1.565 084 580^5+1.148 698 355^5=11.
g(2^5)<32-9.390 507 5=22.609 49.

x=2^6时,√2^6=8.所以在2^6中筛去所有2,3,5,7的合数和自然数1,
h6^6=1.618 870 407^6=18,g6^6=1.892 894 046^6=46.
这时候:
h5^6=1.615 394 266^6=17.769 336 9,去掉小数=17,但是π(2^6)=18.
所以π(2^6)=17+1≈h5^6+b^6≈1.615 394 266^6+1^6=18.
g(2^6)<64-17.769 336 9=46.230 663.

x=2^7时,√2^7=11.313 708 50.所以在2^7中筛去所有2,3,5,7,11的合数和自然数1,
h7^7=1.633 246 253^7=31,g7^7=1.922 314 906^7=97.
这时候:
h6^7=1.618 870 407^7=29.139 667,去掉小数=29.但是π(2^7)=31.
所以π(2^7)=29+2≈h6^7+b^7≈1.618 870 407^7+1.104 089 514^7=31.
g(2^7)<128-29.139 667=98.860 33.

x=2^8时,√2^8=16.所以在2^8中筛去所有2,3,5,7,11,13的合数和自然数1,
,h8^8=1.646 452 553^8=54,g8^8=1.941 640 942^8=202.
这时候:
h7^8=1.633 246 253^8=50.630 634,去掉小数=50.但是π(2^8)=54.
所以π(2^8)=50+4≈h7^8+b^8≈1.633 246 253^8+1.189 207 115^8=54.
g(2^8)<256-50.630 634=205.369 37.

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