利用基本不等式求极值也要有函数的思维方法

luyuanhong

利用基本不等式求极值也要有函数的思维方法

原创 数之缘 高中数学学习方法研究 2024 年 08 月 12 日 10:01 山东

利用基本不等式求极值时，可能很多人更侧重于不等式的“配凑”，但实际上这类问题本质上还是函数的极值问题，因此还需要有函数的思维方法。这是因为，函数思想可以研究的内容，显然比“配凑”不等式更为全面，方法手段也更多。

当然，不等式“配凑”得熟练，可以明显减少一些计算量。

下面来看一个典型的例题。

例题：

已知实数 m、n 满足 mn＞0 ，



分析：

题给条件与常见的基本不等式问题有所不同。一般的题目大多是已知正实数，而本题则是乘积 mn＞0 ，这样 m 和 n 就有可能同正或同负。

本题另一个特点是所求的表达式是两分式相减的形式，因此不能直接利用基本不等式。

仔细观察所求的表达式，两个分式都是齐次式。

由于 m≠0 ，因此直观感觉上下应当上下同除以 m 。不妨设 n/m=k ，则显然 k 为正。

于是，上述表达式转化为关于 k 的一个函数表达式，即 1/(1+k)-1/(1+3k) ，显然 1+k＜1+3k ，因此，这个表达式显然恒为正。

后面无论是通过通分和配凑不等式，还是求导，问题都已经迎刃而解了。

解：

令 n/m=k ，则有 k＞0 ，且：



取等条件是 3k^2=1 。

在本例中，首先要进行仔细的观察，注意到所求表达式的齐次分式的特点；随后将问题转化为关于 k 的函数，这是本题的关键。

实际上，即便不使用基本不等式，通过求导也能求得最大值。

关于 k 的函数曲线大致如下图所示，此关于 k 的函数也可理解为对勾函数沿 y 轴平移后取倒数得到。



由此可见，利用基本不等式求极值的题目本质上还是函数的极值问题。

应用基本不等式在一些情况下能减少计算量，但也可能一时想不到思路。

如果有了函数的思维方法，不仅有更强的适应面，而且能研究的内容和手段也更丰富。还有一点，就是函数方法能研究基本不等式取不了等号的情况。

高中数学学习方法研究

王守恩

好题！！！给出通解。解会倒逼我们去想:  为什么是这样？!

$已知实数\ m,n\ 满足\ m*n>0,\ \ \ 求\ \ \frac{m}{m+n}-\frac{m}{m+k*n}\ 的最大值。$

k=2,  最大值=3 - 2 Sqrt[2],
k=3,  最大值=2 - Sqrt[3],
k=4,  最大值=1/3,
k=5,  最大值=1/2 (3 - Sqrt[5]),
k=6,  最大值=1/5 (7 - 2 Sqrt[6]),
k=7,  最大值=1/3 (4 - Sqrt[7]),
k=8,  最大值=1/7 (9 - 4 Sqrt[2]),
k=9,  最大值=1/2,
k=10,  最大值=1/9 (11 - 2 Sqrt[10]),
k=11,  最大值=1/5 (6 - Sqrt[11]),
k=12,  最大值=1/11 (13 - 4 Sqrt[3]),
k=13,  最大值=1/6 (7 - Sqrt[13]),
k=14,  最大值=1/13 (15 - 2 Sqrt[14]),
k=15,  最大值=1/7 (8 - Sqrt[15]),
k=16,  最大值=3/5,
k=17,  最大值=1/8 (9 - Sqrt[17]),
k=18,  最大值=1/17 (19 - 6 Sqrt[2]),
k=19,  最大值=1/9 (10 - Sqrt[19]),
k=20,  最大值=1/19 (21 - 4 Sqrt[5]),
k=21,  最大值=1/10 (11 - Sqrt[21]),
k=22,  最大值=1/21 (23 - 2 Sqrt[22]),
k=23,  最大值=1/11 (12 - Sqrt[23]),
k=24,  最大值=1/23 (25 - 4 Sqrt[6]),
k=25,  最大值=2/3,(k - Sqrt[k])/(k + Sqrt[k])

k =k,  最大值 =$\frac{k-\sqrt{k}}{k +\sqrt{k}}=1 - \frac{2\sqrt{k}}{k+\sqrt{k}}\ (永远<1),\ \ 此时\ m=1,\ n=\frac{1}{\sqrt{k}}$。

王守恩

k =k,  最大值 =$\frac{k-\sqrt{k}}{k +\sqrt{k}}=1 - \frac{2\sqrt{k}}{k+\sqrt{k}}\ (永远<1)$。

这5道题的最大值是一样的。

$1,\ 已知实数\ m,n\ 满足\ m*n>0,\ \ \ 求\ \ \frac{m}{m+n}-\frac{m}{m+k*n}\ 的最大值。$

$2,\ 已知实数\ m,n\ 满足\ m>0,\ n>0,\ \ \ 求\ \ \frac{m}{m+n}-\frac{m}{m+k*n}\ 的最大值。$

$3,\ 已知实数\ m\ 满足\ m>0,\ \ \ 求\ \ \frac{m}{1+m}-\frac{m}{k+m}\ 的最大值。$

$4,\ 已知实数\ m\ 满足\ m>0,\ \ \ 求\ \ \frac{\sqrt{m}}{1+\sqrt{m}}-\frac{\sqrt{m}}{k+\sqrt{m}}\ 的最大值。$

$5,\ 已知实数\ m\ 满足\ m>0,\ \ \ 求\ \ \frac{1}{1+m}-\frac{1}{1+k*m}\ 的最大值。$

波斯猫猫

实数 m、n 满足 mn＞0 ，则m/(m+n)-m/(m+3n)=2mn/[(m+n)(m+3n)]

=2/[(m/n+3n/m+4)]≤2/(4+2√3)=2-√3. 仅当m^2=3n^2时取等号.

为何要把简单问题复杂化啊？

波斯猫猫

题目本身就是一个二元函数的条件极值问题。