数学中国

用户名  找回密码
 注册
帖子
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 1121|回复: 0

对称性在积分中的应用

[复制链接]
发表于 2024-9-26 07:38 | 显示全部楼层 |阅读模式
对称性在积分中的应用

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 08 月 11 日 07:30 陕西

有些对称性在积分中很容易应用,比方说奇偶函数的应用,有些则不容易看出来,比方说下面这个名字巨长的积分——欧拉对数正弦积分。



几乎很难看出这个积分的答案为 0 ,今天这期,我们尝试求解这个问题,为了方便,我们把这个积分记作大写的 I 。



如果我们能证明 I 满足方程 I = 2I 。则可以推导出这个积分的值为 0 ,要做到这一点并不容易,需要你对 sin(x) 、cos(x) 和 log(x) 的行为了解得很深。比方说下面这个三角恒等式。







上面两张函数的图像可能足以让你相信这个等式。你也可以画一个直角三角形来证明这一点,如下图所示。



另一个重要的三角恒等式——二倍角公式是:

             sin(2x) = 2cos(x)sin(x)

接着我们还可以看一下 sin(x) 是如何对称的:



这种对称性导致的一个的结果就是:



如果你不放心,再看一下 log(sin(x)) 的图像就好了。



对数函数的一个关键性质是:



这将非常有用,因为它可以与二倍角公式相结合:



准备了上面的基础知识,我们回到原问题求解欧拉对数正弦积分:



首先我们做一个变量替换:



这给出了一个关于 (π/2-u) 的新积分。接下来,利用我们刚才提到的 sin 和 cos 之间的关系:



到目前为止一切顺利。但我们想计算 I + I 。



这里的难点在于一个积分是关于 u 的,另一个是关于 x 的。接下来的操作可能会让人感觉有点不舒服,但关键是要意识到 x 和 u 是“虚拟变量/哑变量”。它们代表某种东西,在本例中是图形下的区域,所以使用哪个变量名并不重要。所以我们将 du 和 u 改为 dx 和 x 。

接着根据对数的运算规则和 2 倍角公式:



我们快完成了!再做一次变量替换替换



但是,我们还记得 sin(v)是关于 π/2 对称。这意味着以下结论成立:



最终得到:



与我们原始表达式的唯一区别是“虚拟变量”不同。像以前一样,我们可以将 v 改回 x ,将 dv 改回 dx :



我们完成了!

很明显这种方法又是叫欧拉的人发明的,正因为欧拉对于对称性的敏锐观察,才使得我们有机会处理这类积分,数学中有一类经典的笑话,注意力涣散的人没法学习数学,所有的一切只需注意到,就可以解决,我不知道你怎样看欧拉,但在我心中他绝对是注意力集中的代表,也正因为如此他才可以征服这个正弦积分,也真诚地希望你们能够注意力集中,解决这些对称性问题。好了我们下期见。



围城里的猫

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

LaTEX预览输入 教程 符号库 加行内标签 加行间标签 
对应的 LaTEX 效果:

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-14 11:27 , Processed in 0.110566 second(s), 16 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\square_{\baguet}^{\baguet}\overarc{\square}\ \dot{\baguet}\left(\square\right)\binom{\square}{\square}\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\ \begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\to\Rightarrow\mapsto\alpha\ \theta\ \pi\times\div\pm\because\angle\ \infty
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
\underline{\square}\overline{\square}\overrightarrow{\square}\overleftarrow{\square}\overleftrightarrow{\square}\underrightarrow{\square}\underleftarrow{\square}\underleftrightarrow{\square}\dot{\baguet}\hat{\baguet}\vec{\baguet}\tilde{\baguet}
\left(\square\right)\left[\square\right]\left\{\square\right\}\left|\square\right|\left\langle\square\right\rangle\left\lVert\square\right\rVert\left\lfloor\square\right\rfloor\left\lceil\square\right\rceil\binom{\square}{\square}\boxed{\square}
\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\begin{matrix}\square&\square\\\square&\square\end{matrix}\begin{pmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{pmatrix}\begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Bmatrix}\begin{vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{vmatrix}\begin{Vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Vmatrix}\begin{array}{l|l}\square&\square\\\hline\square&\square\end{array}
\to\gets\leftrightarrow\nearrow\searrow\downarrow\uparrow\updownarrow\swarrow\nwarrow\Leftarrow\Rightarrow\Leftrightarrow\rightharpoonup\rightharpoondown\impliedby\implies\Longleftrightarrow\leftharpoonup\leftharpoondown\longleftarrow\longrightarrow\longleftrightarrow\Uparrow\Downarrow\Updownarrow\hookleftarrow\hookrightarrow\mapsto
\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\varkappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\pi\Pi\varpi\rho\varrho\sigma\Sigma\tau\upsilon\Upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\digamma\vartheta\varsigma\mathbb{C}\mathbb{H}\mathbb{N}\mathbb{P}\mathbb{Q}\mathbb{R}\mathbb{Z}\Re\Im\aleph\partial\nabla
\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

MathQuill输入:

Latex代码输入: