r^2-2除以2^p-1的整数解数

yangchuanju · 发表于 2024-10-9 05:42

r^2-2除以2^p-1的整数解数

已经知道，r^2-2除以梅森素数2^p-1有2个整数解，素数p≥3，1≤r≤2^p-1；
二级(r^2-2)^2-2除以梅森素数2^p-1有4个整数解，素数p≥5，1≤r≤2^p-1；
三级((r^2-2)^2-2)^2-2除以梅森素数2^p-1有8个整数解，素数p≥5，1≤r≤2^p-1；
四级(((r^2-2)^2-2)^2-2)^2-2除以梅森素数2^p-1有16个整数解，素数p≥7，1≤r≤2^p-1；
五级((((r^2-2)^2-2)^2-2)^2-2)^2-2除以梅森素数2^p-1有32个整数解，素数p≥7，1≤r≤2^p-1；
6-11级r^2-2除以梅森素数2^p-1分别有64,128,256,512,1024,2048个整数解，素数p≥13，1≤r≤2^p-1；
12-15级r^2-2除以梅森素数2^p-1分别有4096,8192,16384,32768个整数解，素数p≥17，1≤r≤2^p-1；
16-17级r^2-2除以梅森素数2^p-1分别有65536=2^16,131072=2^17个整数解，素数p≥19，1≤r≤2^p-1；
……

还知道，r^2-2除以梅森合数2^11-1有4个整数解；(r^2-2)^2-2除以梅森素数2^11-1没有整数解，1≤r≤2^11-1；
2^11-1=2047=23*89，r^2-2除以23,89都只有2个整数解；(r^2-2)^2-2及多级平方减2除以23,89都没有整数解；r取值范围分别为1-23和1-89；
一级整数解4个，4=2*2。

r^2-2除以梅森合数2^23-1有4个整数解；(r^2-2)^2-2除以梅森素数2^23-1有16个整数解，1≤r≤2^23-1；
2^23-1=8388607=47*178481，r^2-2除以47,178481都只有2个整数解；(r^2-2)^2-2除以47,178481都有4个整数解；多级平方减2不再有整数解；r取值范围分别为1-47和1-178481；
一级整数解4个，4=2*2；二级整数解16个，16=4*4。

r^2-2除以梅森合数2^37-1不但有一级、二级整数解，还有三级整数解；整数解个数不详，可能是4,16,64个；
它的小素因子223的1,2,3级整数解个数分别为2,4,8个，r的取值范围1-223；
它的大素因子616318177的整数解个数不详，可能为2,4,8个。

r^2-2除以梅森合数2^29-1可能有8个整数解；(r^2-2)^2-2除以梅森素数2^29-1可能没有整数解，1≤r≤2^29-1；
2^29-1=233*1103*2089，r^2-2除以233,1103,2089都有2个整数解；(r^2-2)^2-2除以233,1103,2089只有1103有4个整数解外其余素因子无二级整数解；多级平方减2不再有整数解；r取值范围分别为1-233,1=1103和1-2089；
一级整数解可能是8个，8=2*2*2；二级整数解0个，0=0*4*0。

r^2-2除以素数3,5,11,13,19,29,37,43,53,59,61,67,83,101都没有（一级）整数解；更没有二级及以上级整数解；
r^2-2除以素数7=2^3-1有2个（一级）整数解；
r^2-2除以素数23,41,71,73,89各有2个（一级）整数解；
r^2-2除以素数17,47,79各有2个（一级）整数解；(r^2-2)^2-2除以17,47,79各有4个（二级）整数解；
r^2-2除以素数31=2^5-1有2个（一级）整数解；(r^2-2)^2-2除以31有4个（二级）整数解；((r^2-2)^2-2)^2-2除以31有8个（三级）整数解；
r^2-2除以素数97有2个（一级）整数解；(r^2-2)^2-2除以97有4个（二级）整数解；((r^2-2)^2-2)^2-2除以97有8个（三级）整数解；
r^2-2除以费马素数257有2个（一级）整数解；4个（二级）整数解；8个（三级）整数解；16,32,64个四级、五级、六级整数解；
r^2-2除以费马素因子641有2个（一级）整数解；4个（二级）整数解；8个（三级）整数解；16,32个四级、五级整数解；
r^2-2除以费马素数65537有2个（一级）整数解；4个（二级）整数解；8个（三级）整数解；2^4=64，2^5=32……2^14=16384个4——15级整数解；

r^2-2除以合数9,15,25,27,33,39,45都没有（一级）整数解，因为素因子3,5,11,13都没有（一级）整数解；
r^2-2除以合数21=3*7，35=5*7没有（一级）整数解，尽管素因子7有2个一级整数解，但0=0*2便无整数解；
r^2-2除以合数49=7*7有2个（一级）整数解，同素因子7；
r^2-2除以合数119=7*17有4个（一级）整数解；一级4=2*2，二级0=0*4；
r^2-2除以合数289=17*17有2个（一级）整数解；(r^2-2)^2-2除以289有4个（二级）整数解，同素因子17；
r^2-2除以合数391=17*23有4个（一级）整数解；一级4=2*2，二级0=4*0；
r^2-2除以合数527=17*31有4个（一级）整数解；(r^2-2)^2-2除以527有16个（二级）整数解；一级4=2*2，二级16=4*4；
r^2-2除以合数961=31*31有2个（一级）整数解；(r^2-2)^2-2除以961有4个（二级）整数解；((r^2-2)^2-2)^2-2除以961有8个（三级）整数解；同素因子31；
……

r^2-2除以素数127=2^7-1有2个（一级）整数解；4个（二级）整数解；8个（三级）整数解；16个（四级）整数解；32个（五级）整数解；
r^2-2除以素数889=7*127只有4个（一级）整数解；二级及以后级都没有整数解，尽管127有5级多个整数解，但7只有一级整数解；

yangchuanju · 发表于 2024-10-9 05:43

更大的梅森数素因子的平方减2除以相应素因子的整数解见下表（为便于对照，23,89,47一并列入），
不少素因子的整数解级数高达4级、5级或更高；
对于梅森合数2^113-1、2^151-1、2^197-1都高达4级，如果它们的大素因子的整数解也都高达4级或以上，那么这些梅森合数的整数解级数也将高达4级；
对于梅森合数2^79-1、2^191-1都高达5级，如果它们的大素因子的整数解也都高达5级或以上，那么这些梅森合数的整数解级数也将高达5级。
某个梅森合数的整数解级数是多少，由它的素因子中的整数解级数最小的那一个确定；其它普通奇合数相同。
指数小素因子 1级 2级 3级 4级 5级
11 23 2 0 0 0 0
11 89 2 0 0 0 0
23 47 2 4 0 0 0
83 167 2 0 0 0 0
37 223 2 4 8 0 0
29 233 2 0 0 0 0
131 263 2 0 0 0 0
179 359 2 0 0 0 0
191 383 2 4 8 16 32
43 431 2 4 0 0 0
73 439 2 9 0 0 0
239 479 2 4 8 0 0
251 503 2 0 0 0 0
359 719 2 4 0 0 0
29 1103 2 4 0 0 0
233 1399 2 0 0 0 0
179 1433 2 0 0 0 0
29 2089 2 0 0 0 0
47 2351 2 4 0 0 0
79 2687 2 4 8 16 32
113 3391 2 4 8 16 0
47 4513 2 4 8 0 0
53 6361 2 0 0 0 0
197 7487 2 4 8 16 0
317 9511 2 0 0 0 0
283 9623 2 0 0 0 0
43 9719 2 0 0 0 0
97 11447 2 0 0 0 0
41 13367 2 0 0 0 0
211 15193 2 0 0 0 0
151 18121 2 0 0 0 0
337 18199 2 0 0 0 0
223 18287 2 4 0 0 0
113 23279 2 4 0 0 0
263 23671 2 0 0 0 0
181 43441 2 4 0 0 0
151 55871 2 4 8 16 0
113 65993 2 0 0 0 0

yangchuanju · 发表于 2024-10-9 05:49

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-10-9 12:14 编辑

曾经猜想用二级平方减2除以某个梅森数有无整数解判定梅森数的素性，因2^23-1出现二级整数解而被否定；
改用三级平方减2除以某个梅森数有无整数解判定梅森数的素性，因2^37-1出现三级整数解又被否定；
恐怕四级、五级整数解也会存在，原猜想不再成立！

太阳 · 发表于 2024-10-9 07:58

四级整数解，方程指数是多少？指数大于20，数学软件恐怕很难找到整数解，指数变大，只是提高素数判断

太阳 · 发表于 2024-10-9 08:04

素数公式基本上都是错误，很难找到正确的素数公式

大傻8888888 · 发表于 2024-10-9 09:09

太阳发表于 2024-10-9 08:04
素数公式基本上都是错误，很难找到正确的素数公式

确实素数公式基本上都是错误的，实际上根本找不到一个公式代入任何自然数都会是素数。所以期望找到一个素数的公式都是劳而无功，浪费时间和青春而已。

yangchuanju · 发表于 2024-10-9 14:05

已经查知，2^113-1=10384593717069655257060992658440191<35> = 3391 · 23279 · 65993 · 1868569 · 1066818132868207<16>，
三个小素因子的整数解级数和个数分别为
指数小素因子 1级 2级 3级 4级 5级
113 3391 2 4 8 16 0
113 23279 2 4 0 0 0
113 65993 2 0 0 0 0
另两个大素因子的整数解级数和个数不详，
由于素因子65993只有一级整数解2个，故梅森合数2^113-1只会有一级整数解，不可能再用二级、三级整数解了。

yangchuanju · 发表于 2024-10-9 14:08

r^2-2除以2^23-1有4个一级整数解4096,3922486,4466121,8384511；
(r^2-2)^2-2除以2^23-1有16个二级整数解，分4组各4个，其下一级就是有一级整数解的4个数字；
2^23-1=8388607=47*178481，47和178481各有2个一级整数解，4个二级整数解；
素因子47的一级整数解是7和40，二级整数解是3,18,29,44；
素因子178481的一级整数解是4096和174385，二级整数解是19739,20688,157793,158742；
对梅森合数2^23-1的一级、二级整数解分别用两个素因子47和178481做模数（除数）求余，余数就是它俩的一级及二级整数解。
梅森合数2^23-1的一级、二级整数解及模47、模178481的余数：
r1 r2 r3 47 178481
4096 0 —— 7 4096
3922486 0 —— 7 174385
4466121 0 —— 40 4096
8384511 0 —— 40 174385
2339992 4096 0 3 19739
3053916 4096 0 44 19739
5334691 4096 0 3 158742
6048615 4096 0 44 158742
3411827 3922486 0 3 20688
4125751 3922486 0 44 20688
4262856 3922486 0 3 157793
4976780 3922486 0 44 157793
555182 4466121 0 18 19739
3549881 4466121 0 18 158742
4838726 4466121 0 29 19739
7833425 4466121 0 29 158742
1627017 8384511 0 18 20688
2478046 8384511 0 18 157793
5910561 8384511 0 29 20688
6761590 8384511 0 29 157793

yangchuanju · 发表于 2024-10-9 14:10

类似的2^11-1=2047=23*89，23和89各有两个一级整数解5,18和25,64；
2047有4个整数解64,915,1132和1983，模23余数是18,18,5,5，模89余数是64,25,64,25：
2047整数解及模23、89的余数：
整数解4个模23 模89
64 18 64
915 18 25
1132 5 64
1983 5 25

64+1983=915+1132=2047，5+18=23，25+64=89。

yangchuanju · 发表于 2024-10-9 14:12

如何从23的整数解18和89的整数解64求出2047的整数解64？
如何从23的整数解18和89的整数解25求出2047的整数解915？
如何从23的整数解5和89的整数解64求出2047的整数解1133？
如何从23的整数解5和89的整数解25求出2047的整数解1983？
第一个如何——
模89余64的正整数是64,153,242,331……；模23余18的正整数是18,41,64,87……；两个数列中都有的数字64就是2047的一个整数解；
第二个如何——
模89余64的正整数是25,114,203,292……；模23余18的正整数是18,41,64,87……；两个数列中都有的数字915就是2047的一个整数解；

素数 89 23 89 23
整数0 64 18 25 18
整数1 153 41 114 41
整数2 242 64 203 64
整数3 331 87 292 87
整数4 420 110 381 110
整数5 509 133 470 133
整数6 598 156 559 156
整数7 687 179 648 179
整数8 776 202 737 202
整数9 865 225 826 225
整数10 954 248 915 248
整数11 1043 271 1004 271
整数12 1132 294 1093 294
整数13 1221 317 1182 317
整数14 1310 340 1271 340
整数15 1399 363 1360 363
整数16 1488 386 1449 386
整数17 1577 409 1538 409
整数18 1666 432 1627 432
整数19 1755 455 1716 455
整数20 1844 478 1805 478
整数21 1933 501 1894 501
整数22 2022 524 1983 524
整数23 2111 547 2072 547
整数24 2200 570 2161 570
整数25 2289 593 2250 593
整数26 2378 616 2339 616
整数27 2467 639 2428 639
整数28 2556 662 2517 662
整数29 2645 685 2606 685
整数30 2734 708 2695 708
整数31 2823 731 2784 731
整数32 2912 754 2873 754
整数33 3001 777 2962 777
整数34 3090 800 3051 800
整数35 3179 823 3140 823
整数36 3268 846 3229 846
整数37 3357 869 3318 869
整数38 3446 892 3407 892
整数39 3535 915 3496 915
整数40 3624 938 3585 938

列表求两个数列很容易，但比较其中相同的数字确要麻烦很大；
改为列式计算，以求第二个如何为例——
89m+25=23n+18，m=(23n-7)/89,
试算法解不定方程的整数解，当n=39时，m=10；89*10+25=915，23*39+18=915，915为所求。

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