柯西的漂亮证明

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柯西的漂亮证明

原创 李明 未来数学家 2024 年 09 月 08 日 08:35 河南



柯西的证明属于初等方法，只要具有中学数学知识就可以看懂。但是具有中学数学知识不一定能想出这样精巧的方法，需要有一定的数学天赋才有可能。柯西将自己的奇思妙想用数学符号简洁地表达出来，施展着自己的天赋。

在书写证明的过程中偶尔产生笔误是正常的，例如我参考的柯西《分析教程》英译版中的证明就把四次方写成平方，但绝不会出现把数学符号写错到连自己都不认识的地步。一个频繁抄错或者写错数学符号并且错的离奇的人，施展的不是天赋，而是无知。

在柯西证明算术-几何平均不等式的 90 多年前，英国数学家麦克劳林就已经发现了这个不等式，还在 1729 年给出了一个证明。哈代、李特尔伍德和波利亚在合著的书《不等式》中进一步指出，麦克劳林的发现实际上是牛顿不等式的推论。牛顿没有推导，麦克劳林的证明又被忽略了，柯西的天才证明成就了这一著名的不等式。不过，这只是柯西数学研究中的一个精彩花絮，他更重要的工作是在为分析的大厦建立基础。

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