黎曼积分不可积→勒贝格测度不可测

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黎曼积分不可积→勒贝格测度不可测

原创 笑看数学 笑看数学 2024 年 09 月 08 日 23：59 北京

本文的目标是用尽可能简洁易懂的语言，从黎曼积分的一个不可积例子开始，一路串起康托集、勒贝格积分、勒贝格测度等概念，最后到达一个勒贝格不可测的例子。

一般我们看到这个式子，其实指的就是黎曼积分。



这个积分还可以写成这个形式（请自行脑补附加极限 n→+∞）：



其中的 ti 可以在 x(i)～x(i+1) 范围内任取，只要这个极限存在，那就说函数 f(x) 在这个区间上是可积的。定义完了，反例自然就找茬上来了，这个反例是个老朋友了，你肯定见过，它就是狄利克雷函数：



说它不可积真是很简单，简单叙述如下：在区间 [0,1] 上，令 Δ1，Δ2,… 是一系列小区间，无论区间有多小，里面肯定既存在有理数点也存在无理数点，如果全取有理数分点，则积分值为 1（注意 x 轴上区间加起来为 1），如果全取无理数分点，则积分值显然为 0 ，产生矛盾，所以狄利克雷函数在黎曼积分定义下是不可积的。

我们都知道，黎曼积分本质就是算一个函数与 x 轴所围的面积。可现在函数是实打实的存在了，那面积也是客观存在啊，怎么面积一会为 0 一会为 1 的求不出来呢，真让人难受是不是，还有王法吗？还有法律吗？还有没有天理了？有谁能来治一治这桀骜不驯的狄利克雷函数呢？

好了，这时候就该请出更强大的勒贝格积分了，它推广了黎曼积分，比黎曼积分更精细一些，可以处理性质更复杂（变态）的函数。简单来说，黎曼积分是通过划分 x 轴来计算积分，而勒贝格积分是划分 y 轴来计算积分（配合勒贝格测度）。图示：



用勒贝格积分处理狄利克雷函数积分的问题，真是非常简单：函数值 1 对应的自变量 x 集合是有理数集，测度为 0 。函数值 0 对应的自变量 x 集合是无理数集，测度为 1 。所以可得积分结果 = 0×函数值取 0 时对应的测度 + 1×函数值取1时对应的测度 = 1×0 + 0×1 = 0 。是的，黎曼积分啃不动的狄利克雷函数积分，就这么轻松被勒贝格积分一口吞下了。

而上面提到的勒贝格测度听着高大上，其实就是一个映射，也就是把一个点集映射到一个非负实数。1 维情形就是长度，2 维就是面积，3 维就是体积……。而最简单的例子就是区间 [a,b] ，勒贝格测度是 b-a 。另一个稍微复杂点的例子是可列集的测度，比如上面提到的有理数的测度，证明它的测度为 0 其实也不费事：记可列集合是 r1,r2,……，给每个 ri 分配一个小区间，区间长度为“ε/（2 的 i 次方）”，然后把这些区间长度加起来，算完一个等比数列的和就可得到区间长度是 ε ，也就是说可以任意小，那测度自然就是 0 了。而无理数显然是有理数的补集，有理数测度为 0 那 [0,1] 上的无理数测度自然就是 1 了，也好理解。顺便附上一张有理数是可列的图示说明：



上面论述了 [0,1] 上有理数集、无理数集的测度，一个是 0 ，一个是 1 。而且证明了任意可列集的测度都是 0 。那相应地一个问题就产生了，一个不可列集合测度是不是都是正的，可能为 0 吗？直观感觉来说，点集都不可列了，那说明点是非常多啊，测度一定得是正的吧。然而的确存在这样的例子：不可列集的测度可以为 0 ，这类奇葩集合最典型的代表就是康托集。

康托集是由不断去掉线段的中间三分之一的开集而得出，康托集就是由所有过程中没有被去掉的区间 [0,1] 中的点组成。形象图示如下：



首先很容易证明它的测度为 0 ，因为每次去掉原来长度的 1/3 ，于是剩余长度就是 2/3、4/9、8/27、16/81、…… 极限状态下测度显然是 0 。

其次我们再来看看它为啥不可列，这里我们得借助一下三进制表示法。在长度为 1 的直线段中，将所有点按三进制编码。第一次去掉的点，其实就是三进制编码小数中，第一位小数为 1 的所有点；同理，第 N 次操作，就是去掉三进制小数中，第 N 位为 1 的点。最后得到的康托尔集，用三进制表示，就是小数位只有 0、2 的所有小数。注意：0.1（3 进制）是康托尔集中的点，应理解为 0.0222222…（3 进制）。这样看来，康托集其实就是 [0,1] 上所有小数位数为 0 或 2 的小数组成的集合，然后我们把每个数里面的 2 改为 1 ，就可以把康托集中的每一个数与 [0,1] 之间的小数建立一个一一对应（注意 2 变为 1 之后使用的是二进制）。而 [0,1] 上所有小数显然是不可列的，所以康托集也是不可列的。

最后我们再讨论一个问题：是不是所有点集都存在勒贝格测度？这个问题其实挺复杂的，有两个岔路了。岔路 1 ：假设决定性公理成立，则实数集的所有子集都是勒贝格可测的。岔路 2 ：假设选择公理成立，则可以构造出勒贝格不可测的集合。而决定性公理与选择公理是不相容的。

最后我们来看一个例子，在假设选择公理成立的情况下，该集合没有勒贝格测度，这个例子叫做维塔利集合，定义如下：



可以证明它是勒贝格不可测的：






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