【科普】数学中最美的结构之一 —— 三元组树

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【科普】数学中最美的结构之一 —— 三元组树

原创 Anna Cramer 梧桐阅览 2024 年 09 月 03 日 19:59 湖北

马尔可夫数揭示了无理数的秘密和斐波那契序列的模式。但关于它们的一个问题，一个多世纪以来一直未能得到证明。


这棵树展示了你如何唯一确定一个马尔可夫三元组。从你的三元组中最大的数字开始。然后交叉两个相邻的分支向下移动。例如，如果你从 194 开始，你将到达 13 和 5 。

无理数大家庭中，大多数人可能只熟悉 √2 或 π 。但这类被称为无理数的数字，比分数或有理数要丰富得多。

用分数来近似无理数有多容易？如果你使用一个分母任意大的分数，你可以得到任意接近的近似值。（众所周知，22/7 可以很好地近似 π ；但是 355/113 更好。）但有些无理数比其他的更难近似，这意味着你需要使用一个非常大的分母才能得到一个接近的近似值。最难近似的结果是黄金比例 φ ，或者



在特定的数学意义上，它是“最远”于有理数的数字（需要用分母很大的有理数才能得到比较好的近似结果）。

下一个最难的是什么？再下一个呢？难以近似的无理数序列，结果是由一个看似简单的方程给出的整数解，这个方程与近似无理数没有明显的联系。这个联系是由俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫在 1879 年证明的。

马尔可夫因提出概率论中的马尔可夫链概念而闻名，它被用于从谷歌的 PageRank 算法到 DNA 演化模型等各种领域。马尔可夫发现的特定方程的解，被称为马尔可夫数，并不为人所熟知，但它们出现在包括组合数学、数论、几何和图论在内的广泛的数学学科中。

“这不仅仅是一个方程，这是一种方法，”利物浦大学的数学家奥列格·卡尔彭科夫说。“这些数字在数学的深处是核心……像这样的结构是罕见的想法。”

马尔可夫方程如下：



当 x 、y 和 z 都是 1 时有一个明显的整数解（因为 1 + 1 + 1 = 3 × 1）。结果发现，这个方程的所有整数解都通过一个简单的规则相互联系。从一个解 (a, b, c) 开始。那么相关的三元组 (a, b, 3ab - c) 也是一个解。前两个数字保持不变，而第三个数字 c 被 3ab - c 替换。将这个规则应用于 (1, 1, 1)，你会得到 (1, 1, 2) 。（很容易检查输入这些值使方程的两边都等于 6 。）再次应用这个规则，你会回到起点，因为 3 - 2 = 1 。但是如果你在应用规则之前改变三元组中数字的顺序，你会创造一个完整的解的宇宙。输入 (1, 2, 1)，你会得到 (1, 2, 5) 。



直到现在，由于相同的 1 ，树并没有分支——前几步可以说是在生长树干。但是如果你从一个有三个不同数字的解开始，比如 (1, 2, 5) ，分支开始大量增加。输入 (5, 1, 2) 你会得到 (1, 5, 13) 。但是 (2, 5, 1) 的结果却是 (2, 5, 29) 。从这一点开始，每个解都有三个不同的数字，所以树的每个分支都会引出两个新的分支。

树的最左边的分支可能看起来很熟悉——它包含了斐波那契序列中的部分数字，这是数学中最著名的序列之一（这个序列中的每个数字是前两个数字的和：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …）。最右边的分支类似地包含了佩尔序列中的项，这是一个相关但稍微不那么著名的序列。

“这些序列的项在树中出现的方式是，我所知道的数学中最美丽的事情之一。”纽约城市大学的教授亚历山大·甘布尔德说。

马尔可夫在 1879 年的定理，将每个三元组与一个难以近似的无理数联系起来，是这个方程可能在整个数学中产生深远影响的第一个暗示。在 2013 年关于这个主题的一本书中，已故的奥地利数学家马丁·艾格纳称这个定理“无疑是数论中的经典之作”。

在 1913 年，德国数学家格奥尔格·弗罗贝尼乌斯（Georg Frobenius），他在代数、数论和微分方程研究方面做出了广泛的贡献，注意到了马尔可夫三元组的一些有趣之处。每个最大的数字似乎唯一地确定了两个较小的数字。一个数字——以 5 为例——可能会出现在许多三元组中，比如 (1, 2, 5)，(1, 5, 13)，(2, 5, 29) 等等。但是，他观察到，如果你只关注每个三元组中的最大数字，它将只与一对较小的数字相关联。

由于数字增长得如此之快，这显然是不显而易见的。例如，考虑三元组 (5, 433, 6466) 。如果你将 z 设为 6466 ，显然不容易看出只有 x 和 y 分别是 5 和 433 才能解这个方程。但据弗罗贝尼乌斯所知，最大的数字总是唯一地确定了两个较小的数字。在此后 110 年中，尽管有大量研究将马尔可夫数与其他问题联系起来，但没有人能够证明后来被称为唯一性猜想的命题。

这个猜想的相对简单性展示了一个常见的数学悖论。像马尔可夫方程这样的工具可以用来证明微妙和复杂的结果，尽管关于它们属性的基本问题仍然悬而未决。

然而，在过去几年里，证明唯一性猜想方面取得了一些显著进展。人们早已知道，可以将每个马尔可夫三元组与 0 和 1 之间的所有分数建立对应关系。对于每个分数 p/q（称为索引），你可以通过遵循特定的数学程序分配一个马尔可夫数 mp/q 。例如，m2/3 是 29 ，m3/5 是 433 。

2013 年，艾格纳提出了三个关于如何使用这种对应关系对三元组进行排序的猜想。这些猜想是证明唯一性猜想的垫脚石。他假设如果你保持索引的分子不变并增加分母（如 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …），相应的马尔可夫数会不断增大。同样，他认为如果你增加分子但保持相同的分母（如 1/17, 2/17, 3/17, 4/17, …），你也应该得到一系列越来越大的马尔可夫数。他认为，如果保持分子和分母的和不变（如 1/100, 2/99, 3/98, …），也应该保持数字递增的相同模式。

在 2020 年发表在《数学进展》杂志上的一篇论文中，哈特福德大学的米歇尔·拉比多（Michelle Rabideau）和康涅狄格大学的拉尔夫·希夫勒（Ralf Schiffler）证明了常数分子猜想。2023 年 2 月，拉比多和希夫勒与另外两位合作者一起，也发表了其他两个猜想的证明。

由于这些以及其他进展，卡尔彭科夫对证明弗罗贝尼乌斯的唯一性猜想可能最终正在进行中持乐观态度。他说：“我认识一些说自己快要证明它的人。我认为我们非常接近了——可能在未来五年内。”

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中文翻译编辑校对：酉木木

来源：梧桐阅览