素数公式，判断大素数，求证:m=p

太阳

已知:\(a^2+ab+b^2＝c\)，\(c＝2^k-1\)，\(c＝mt\)，整数\(a＞0\)，\(b＞0\)
\(m＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(c＞0\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，\(y＞0\)
求证:\(m＝p\)，\(t＝y\)
k=37，67，101，103，139，269，271，281
373，379，457，881，1063，1637，4243
已知:\(a^2+ab+b^2=mt^2\)，\(b=tv\)，\(c=2^k-1\)，\(c=mt\)
整数\(a＞0\)，\(b＞0\)，\(c＞0\)，\(m＞0\)，\(t＞0\)，\(v＞0\)
素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，\(w＞0\)
求证:\(m=p\)，\(t=w\)
已知:\(a^2+ab+b^2=mt^2\)，\(b=ty\)，\(c=2^k-1\)，\(c=mt\)
整数\(a＞0\)，\(b＞0\)，\(c＞0\)，\(m＞0\)，\(t＞0\)，\(y＞0\)
素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，\(w＞0\)
求证:\(m=p\)，\(t=w\)
方程(13*23*(2^4243-1)/101833)^2+13*23*(2^4243-1)/101833b+b^2=(2^4243-1)*(2^4243-1)/101833
b=67699395072733261531712744359489957533165214487082505828375349175018131057320746144419066517703649420950206833096760787395947262415217219403883917417449686864265826235824640820342352435360615688418021930619515684783466660722854075628866636951359600389570246815370481349544155568843891161457067309161071616183712714246788664482864802153762291382918331042589574813158237399892460535904229002970783295766252764984647368524847269721583997503750686770825748827969122625816766776156112752404514587665991180692094763940574036357560534602811241242176750997161900512268255802785326287116019102426942637098003661367566390770677460215099576004734062241916791302604008516087068119607352517435732055312966168265540333716715776612095284146387079123434419869946132374151965657982720721252297380679976203862333831143028022573645010924120246928184512487353492760783302381770453348258467048285647714355020287076416555412315872816100205588899697881862337694678225087424864900467759915533205440310399874362742003476822344974681138615578316318049279002007647943229439634724543194265648861858634042989478565448010154537335281387766106303135486260477093072148697913464119883072667726277115153699320525686507472423581569948141015568572466018170074091111302844381992914344388899696911001357647995523
试除299次，判断(2^4243-1)/101833是素数，找到大素数有1273位
方程a^2+37*(2^4243-1)/101833a+(37*(2^4243-1)/101833)^2=(2^4243-1)*(2^4243-1)/101833
a=547084300722898518864381366580743170335578354909126195748222416306227599625375759383278402399821383158489509272863012849496979228706755367615170035346417739795013028230042367710334145356022272725324015060952302425682608960976577530081922282390716770715716318859345241176046013921197931277720625011869200357808921663778102991361529076864187165499799485992818455922548999528860694600955796537520654200921880452173231437538630639101449060908687982283159429717912639597816574758666965215377023289517063865592873903195449645159745941790285435984076987787875898734275905000886825941829451665558266175467651209429793265957636773089588465551769854333327583769691852602973874804394551424683348230772348224632339453548595059649094323237019909673159230840916042699228046803698202585255051806035483377157778797615280506743779953143566319771004573884289036093897497625658528408899503984794828826814893671239150001845471512757134093813000261261536188397534845976757692033509735533633200720346204390120536730799185976957558390433997745380992822205413155000691958129260497705011594856641394023077137596458244221801709436079515291476689470050882454826282720976372212028073720274509660296110725329196371196071645659851193612297382901065752760898439987850546375172674926513766929443403695963821
试除37次，方程找到正整数解，判断(2^4243-1)/101833是素数

太阳

已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2\)，\(t=2m-1\)，\(m=ky\)
整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，\(k＞1\)，\(y＞1\)，奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2\)，\(t=2m-1\)，\(t=ky\)
整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，\(k＞1\)，\(y＞1\)，奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2\)，\(t=2m-1\)，\(m=ky\)，
\(m\ne3d\)，\(m\ne5n\)，\(t\ne3u\)，\(t\ne5v\)，整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，\(d＞0\)
\(k＞1\)，\(n＞0\)，\(u＞0\)，\(v＞0\)，\(y＞1\)，奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2\)，\(t=2m-1\)，\(t=ky\)，
\(m\ne3d\)，\(m\ne5n\)，\(t\ne3u\)，\(t\ne5v\)，整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，\(d＞0\)
\(k＞1\)，\(n＞0\)，\(u＞0\)，\(v＞0\)，\(y＞1\)，奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2\)，\(t=2m-1\)，\(m=ky\)，\(m\ne3d\)，\(t\ne3u\)
整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，\(d＞0\)，\(k＞1\)，\(u＞0\)，\(y＞1\)，奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
已知:\(a^2+ab+b^2=3m^2t^2\)，\(b=t^2\)，\(t=2m-1\)，\(t=ky\)，\(m\ne3d\)，\(t\ne3u\)
整数\(a\ne0\)，\(b＞0\)，\(k＞1\)，\(d＞0\)，\(u＞0\)，\(y＞1\)，奇数\(m＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)

太阳

1楼，命题，找个反例难度大，数学软件，验证k取值范围5000左右，没有找到反例

太阳

2楼，命题，挑战，是否找到一个反例？

太阳

1楼命题是错误的，找到反例，2^577-1，三个素数乘积

太阳

2楼命题错误，找到反例

yangchuanju

2楼命题1
已知：a^2+ab+b^2=3m^2*t^2，b=t^2，t=2m-1，m=ky，
整数a≠0，b>0，k>1，y>1，奇数m>1，t>1，素数p>0，
求证：t=p
主方程消b——
a^2+ab+b^2=3m^2*t^2，a^2+a*t^2+t^4=3m^2*t^2
再消t——
a^2+a*(2m-1)^2+(2m-1)^4=3m^2*(2m-1)^2，
a^2+a*(4m^2-4m+1)+(16m^4-32m^3+24m^2-8m+1)=3m^2*(4m^2-4m+1)，
a^2+a*(4m^2-4m+1)+(4m^4-20m^3+21m^2-8m+1)=0，
给定一系列奇数m，算一算a是不是整数；
当a是整数时看一看m是不是素数，再看一看t是不是素数。

2楼命题2
已知：a^2+ab+b^2=3m^2*t^2，b=t^2，t=2m-1，t=ky，
整数a≠0，b>0，k>1，y>1，奇数m>1，t>1，素数p>0，
求证：m=p
主方程消b——
a^2+ab+b^2=3m^2*t^2，a^2+a*t^2+t^4=3m^2*t^2
再消m,m=(t+1)/2——
a^2+a*t^2+t^4=3/4*(t+1)^2*t^2，
a^2+a*t^2+t^4=3/4*(t^4+2t^3+t^2)，4a^2+4a*t^2+4t^4=(3t^4+6t^3+3t^2)，
4a^2+4a*t^2+(t^4-6t^3-3t^2)=0，
给定一系列奇数t，算一算a是不是整数；
当a是整数时看一看t是不是素数，再看一看m是不是素数。

yangchuanju

2楼命题1：a^2+a*(4m^2-4m+1)+(4m^4-20m^3+21m^2-8m+1)=0，
m        a1        a2        t        b        m分解式        t分解式
1        1        -2        1        1        ——        ——
7        -26        -143        13        169        7 is prime         13 is prime
19        -407        -962        37        1369        19 is prime         37 is prime
91        -13394        -19367        181        32761        91=7*13        181 is prime
127        -27071        -36938        253        64009        127 is prime         253=11*23
271        -130922        -161759        541        292681        271 is prime         541 is prime
331        -197639        -239282        661        436921        331 is prime         661 is prime
547        -553058        -641591        1093        1194649        547 is prime         1093 is prime
631        -740207        -849914        1261        1590121        631 is prime         1261=13*97
919        -1590842        -1783727        1837        3374569        919 is prime         1837=11*167
1027        -1993463        -2221346        2053        4214809        1027=13*79        2053 is prime
1387        -3665906        -4023623        2773        7689529        1387=19*73        2773=47*59
1519        -4406687        -4816682        3037        9223369        1519=7*7*31        3037 is prime
1951        -7310474        -7907327        3901        15217801        1951 is prime         3901=47*83
2107        -8539751        -9209618        4213        17749369        2107=7*7*43        4213=11*383
2611        -13167362        -14091479        5221        27258841        2611=7*373        5221=23*227
2791        -15063119        -16084442        5581        31147561        2791 is prime         5581 is prime
3367        -21989978        -23343311        6733        45333289        3367=7*13*37        6733 is prime
3571        -24757847        -26236034        7141        50993881        3571 is prime         7141=37*193
哪是正例，哪是反例，请太阳先生自己辨认！                                               

yangchuanju

2楼命题2：4a^2+4a*t^2+(t^4-6t^3-3t^2)=0，
t        a1        a2        m        b        t分解式        m分解式
1        1        -2        1        1        ——        ——
13        -26        -143        7        169        13 is prime         7 is prime
37        -407        -962        19        1369        37 is prime         19 is prime
73        -1898        -3431        37        5329        73 is prime         37 is prime
121        -5687        -8954        61        14641        121=11*11        61 is prime
181        -13394        -19367        91        32761        181 is prime         91=7*13
253        -27071        -36938        127        64009        253=11*23        127 is prime
337        -49202        -64367        169        113569        337 is prime         169=13*13
433        -82703        -104786        217        187489        433 is prime         217=7*31
541        -130922        -161759        271        292681        541 is prime         271 is prime
661        -197639        -239282        331        436921        661 is prime         331 is prime
793        -287066        -341783        397        628849        793=13*61        397 is prime
937        -403847        -474122        469        877969        937 is prime         469=7*67
1093        -553058        -641591        547        1194649        1093 is prime         547 is prime
1261        -740207        -849914        631        1590121        1261=13*97        631 is prime
1441        -971234        -1105247        721        2076481        1441=11*131        721=7*103
1633        -1252511        -1414178        817        2666689        1633=23*71        817=19*43
1837        -1590842        -1783727        919        3374569        1837=11*167        919 is prime
2053        -1993463        -2221346        1027        4214809        2053 is prime         1027=13*79
2281        -2468042        -2734919        1141        5202961        2281 is prime         1141=7*163
2521        -3022679        -3332762        1261        6355441        2521 is prime         1261=13*97
2773        -3665906        -4023623        1387        7689529        2773=47*59        1387=19*73
3037        -4406687        -4816682        1519        9223369        3037 is prime         1519=7*7*31
3313        -5254418        -5721551        1657        10975969        3313 is prime         1657 is prime
3601        -6218927        -6748274        1801        12967201        3601=13*277        1801 is prime
3901        -7310474        -7907327        1951        15217801        3901=47*83        1951 is prime
4213        -8539751        -9209618        2107        17749369        4213=11*383        2107=7*7*43
4537        -9917882        -10666487        2269        20584369        4537=13*349        2269 is prime
4873        -11456423        -12289706        2437        23746129        4873=11*443        2437 is prime
5221        -13167362        -14091479        2611        27258841        5221=23*227        2611=7*373
5581        -15063119        -16084442        2791        31147561        5581 is prime         2791 is prime
哪是正例，哪是反例，请太阳先生自己辨认！                                               

yangchuanju

太阳1楼命题2、命题3
已知:a^2+ab+b^2=mt^2，a=tv，c=2^k-1，c=mt
整数a＞0，b＞0，b＞0，m>0，t>0，v＞0，
素数k＞0，p＞0，w＞0
求证:m=p，t=w

已知:a^2+ab+b^2=mt^2，b=ty，c=2^k-1，c=mt
整数a＞0，b＞0，b＞0，m>0，t>0，y＞0，
素数k＞0，p＞0，w＞0
求证:m=p，t=w

令c=2^37-1=223*616318177, m=616318177, t=233, mt^2=233^2*616318177；
t值写错了，将错就错——
解不定方程a^2+ab+b^2-233^2*616318177=0得——
{a == -6566639, b == 2225616},
{a == -6566639, b == 4341023},
{a == -4341023, b == -2225616},
{a == -4341023, b == 6566639},
{a == -2225616, b == -4341023},
{a == -2225616, b == 6566639},
{a == 2225616, b == -6566639},
{a == 2225616, b == 4341023},
{a == 4341023, b == -6566639},
{a == 4341023, b == 2225616},
{a == 6566639, b == -4341023},
{a == 6566639, b == -2225616}
12组整数解中只有3个正整数，不论a还是b，都是这3个正整数或它们的相反数；它们之中都含有素因子233——
2225616=2*2*2*2*3*199*233
4341023=31*233*601
6566639=233*28183
令c=2^37-1=223*616318177, t=616318177, m=233, mt^2=233*616318177^2;
解不定方程a^2+ab+b^2-233*616318177^2=0得——无整数解！t值写错了