数学家发现了一类新几何形状

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数学家发现了一类新几何形状

原创 佐佑 原理 2024 年 09 月 24 日 20:45 浙江



“铺砌”是数学领域的一个已得到充分探索的概念。长期以来，数学家们一直在研究什么样的几何形状可以通过组合而无缝隙地铺满表面。解决这类问题的典型思路，是使用具有拐角的平面形状。然而，这样的形状在自然界中并不常见。

现在，在一项于近期发表在 PNAS Nexus 上的研究中，来自布达佩斯技术与科技大学和牛津大学的数学家发现了一类新的形状，可以在没有任何拐角的情况下铺砌空间。他们将这类由圆角构成的新几何形状称为“软细胞”（soft cell）。更神奇的是，这些柔软的形状在自然界随处可见。

将拐角变成圆角  

铺砌可分为周期性和非周期性铺砌。例如，三角形、正方形、六边形，可以周期性地铺砌二维空间，再比如立方体可以周期性地铺砌三维空间。


三角形、正方形、六边形可以周期性地铺砌平面。（图 / 原理）

相比之下，寻找非周期性铺砌的例子要难得多，因为它要求由这些形状构成的整体图案，无法通过平移或旋转来恢复。彭罗斯铺砌就是一个著名的非周期性铺砌示例。


由两种菱形组成的彭罗斯铺砌。（图 / Wikipedia）

在新的研究中，Gábor Domokos 及其同事考虑了的是“简单”的周期性铺砌。但特别的是，他们探讨了有着“圆角”的几何形状的铺砌问题。


新研究将一类新的可以无缝隙铺砌空间的形状命名为软细胞。第一行显示了等效于常规三角形的软铺砌，第二行显示了等效于长方形的软铺砌，第三行显示了等效于六边形的软铺砌。（图 / Domokos et. al. / PNAS Nexus）

在二维空间中，当让一些传统的铺砌系统（比如三角形、长方形、六边形、立方体）的边弯曲，拐角变“圆”时，这些被“软化”过的形状就无法再以不留缝隙的形式铺砌空间了。但是，当让一些拐角变“尖”时，就又可以做到无缝隙铺砌了。

在这个过程中，研究人员尽可能地最小化“尖角”的数量。通过这样做，他们创造出了一类具有不同铺砌特性的新数学形状，并将这些拥有最小数量的拐角、能无缝隙铺砌空间的几何形状命名为“软细胞”。


软细胞拥有最小数量的尖角，并且能没有缝隙地铺砌空间。在自然界和建筑中都存在有着两个尖角的软细胞的例子。第1列显示的是几何软细胞示例，第2、3列显示的是自然界的软细胞示例，第4列显示的是建筑师扎哈·哈迪德的建筑设计。（图 / Wikimedia Commons, Google Earth, Krisztina Regos.）

他们发现，在二维空间里，所有的软细胞都必须至少有两个“尖角”。在肌细胞、斑马条纹、河流岛屿的形状、洋葱鳞茎的层，甚至在建筑设计中，都能找到这样的铺砌模式。

在三维空间中，软细胞变得更加复杂和有趣——它们可以完全没有尖角，却能无缝隙地铺砌整个空间，鹦鹉螺的壳腔就是一个很好的例子：从鹦鹉螺的横截面来看，其壳室看起来像是有着两个尖角的二维软细胞，但其实际的三维腔室根本没有任何拐角。


鹦鹉螺腔室的几何形状。（图 / Domokos et. al. / PNAS Nexus）

开启新的问题

其实，当一些建筑师想要避免拐角时，他们会凭直觉创造出这些形状，比如著名的建筑师包括扎哈·哈迪德就经常这样做。

新的发现开启了几何学和生物学的一系列问题。目前，研究人员尚不清楚大自然是如何利用这些“柔软”的形状来实现几何复杂性的。但他们推测，自然界之所以通常会避免拐角，可能是因为这些扭折在形变能上的成本很高，并有可能是结构性劣势的来源。

#参考来源：

https://www.ox.ac.uk/news/2024-0 ... ex-biological-forms

https://www.nature.com/articles/d41586-024-03099-6

https://www.eurekalert.org/news-releases/1057227

https://academic.oup.com/pnasnex ... /7754698?login=true

#图片来源：

封面图 & 首图：Content Pixie / Unsplash

#创作团队：

编译：佐佑

排版：雯雯