几种圆锥曲线的分类方法

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几种圆锥曲线的分类方法

原创 Asher 爱数学之家 2024 年 09 月 26 日 17:27 广东

圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次平面曲线，是数学、几何学中透过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在约公元前 200 年时就已被命名与研究，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯，当时阿波罗尼奥斯已对它们的性质做过系统性的研究。下面我们介绍几种圆锥曲线的分类方法。

第一，根据离心率来分类

圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率 e）的点的集合是圆锥曲线。对于 0＜e＜1 得到椭圆，对于 e=1 得到抛物线，对于 e＞1 得到双曲线。



第二，根据平面与圆锥的截面来分类

椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。



第三，根据二元二次方程来分类

在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线，并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式：

,

我们定义下面两个矩阵

。

我们首先判断圆锥曲线是否为退化



我们又可以做更加详细的分类：



第四，圆锥曲线的一些基本性质：



*文章部分内容整理于网络

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