什么是解析函数？

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什么是解析函数？

原创 数学语言 数学语言 2024 年 09 月 28 日 18:11 广东

一提到函数这个概念，可能很多同学都会“倍感亲切”！毕竟我们从初中开始，一直到大学将近 10 年的时间，都在数学物理课上与那些无奇不有、千奇百怪的函数“相爱相杀”，比如幂函数、三角函数、指数函数、对数函数和多项式函数等这些初等函数，还有大学微积分课上的连续函数、可微函数、可积函数、原函数、复合函数、多元函数等等等等。这段“相爱相杀”时间之漫长，堪比相当一部分人的婚姻关系存续时间。因此，对于函数这个概念我们是再熟悉不过了。但是我们接触到比较多的函数一般都是实函数，即定义域和值域都是实数的函数。然而，我们都知道，在数学上存在一个比实数域更大的数域——复数域。那在这个更大的复数域上定义的函数是什么函数呢？你可能会说，定义在实数域上的函数叫实函数，那定义在复数域上的函数当然就是复函数呗！虽然这个回答有点像废话，但也没毛病。今天我们就来聊一聊最重要的一类复函数——解析函数。

01  复函数的导数该如何定义？

一个实函数 y=f(x) ，其实就是一个映射规则，它的定义域和值域都是一维数轴上的实数，因此可以看成是两根实数轴 x 轴和 y 轴之间的一个映射。我们指定 x 轴上的一个实数，经过映射规则 f 之后就相应指向 y 轴上另外一个唯一的实数。而且我们还可以把实函数在二维平面上的图像给描绘出来，比如 y=x^2 这个函数的图像是这样的：



很自然地，如果我们把函数的定义域和值域都推广到复数域，那么就相应得到了复函数，也称复变函数，我们记为 w=f(z) 。给这个函数指定一个复数 z=x+yi ，就可以通过映射规则 f 得到另外一个复数 w（这里我们没有像上面一样用了“唯一”这个限定词，原因就是在复变函数上，我们允许多值函数的存在，即一个自变量 z 可以对应多个因变量 w ，比如对数复函数 log(z) 就是一个多值函数。但是我们这里不讨论多值函数，而是聚焦在单值函数上面，如无特别说明，下文所说的复函数都指单值函数）。同样地，复变函数 w=f(z) 就可以看成是两个复平面 z 平面和 w 平面之间的映射：


图片来源：特里斯坦·尼达姆《复分析：可视化方法》

与实函数不同的是，复变函数的图像无法像实函数那样直观和完整地描绘出来，因为它的自变量和因变量都是二维的复数，所以它们对应的是四维空间的点，这是我们这种三维动物无法想象的抽象空间。尽管如此，我们还是可以在三维空间中单独描绘出复函数的实部或者虚部的图像，也可以描绘出它的模曲面，即把它的模长和自变量 z 的两个实变量 x 、y 在三维空间中画出来：


图片来源：特里斯坦·尼达姆《复分析：可视化方法》



既然复函数是由两个二元实函数组成的，而对于实函数，我们已经比较熟悉了。并且通过微积分的学习，我们都知道实函数有导数这样一个非常重要的概念，那么对于复函数而言，它是否也有导数呢？或者说，我们是否也可以像实函数一样定义一个复函数意义上的导数呢？

我们先回顾一下一元实函数的导数是如何定义的。









既然 Δz 在趋于 0 的过程中存在着无数条路径，那么对于不同的路径而言，上面那个极限（1.1）就很有可能是不一样的，当然也有可能不存在。

这就麻烦大了！我们要选择哪条路径来定义复函数的导数呢？即我们要选择哪条路径来定义上面的极限（1.1）呢？你可能会说，那就选择一条特殊的路径来定义吧，比如沿着实数轴的那条路径，它看起来最特殊。但是，对于一个复平面来说，沿着实数轴的路径凭什么而特殊呢？我们为何不选择沿着虚数轴的那条路径呢？甚至我们选择其他路径可不可以呢？

所以，我们没有任何理由选择一条“特殊”的路径来定义复函数 f(z) 在 Δz→0 时的极限（1.1），因为任何路径都应该是等价的。既然如此，那我们可以坚持认为，极限（1.1）与 Δz→0 的具体路径不应该有关系。也就是说，对于 Δz→0 的所有路径，极限（1.1）应该都存在且唯一。这样定义出来的复函数的导数才是一个良好的定义。

正因为我们没有限制 Δz→0 的具体路径，所以上面这种定义的方式体现出了充分的自由性。然而，世上没有免费的午餐，我们马上就会发现，正是因为上面的定义方式的自由性（对 Δz→0 的具体路径没有限制），直接导致了在其他方面被施加了某种限制。

我们具体来分析一下。



02  复函数的导数有何意义？



















03  柯西积分定理









另外，这个封闭曲线所围成的区域有一个特点，我们在里面任取另一条封闭曲线，它都可以在区域内收缩成一点而不离开该区域，这意味着这条曲线所包围的仅仅是这个区域的点，没有包含区域外的点。像这种区域我们称为单连通区域。一个区域如果不是单连通区域，那么就称为多连通区域。事实上，多连通区域说白了就是含有窟窿（或称洞）的区域，比如我们在上图那个区域中挖出一个洞来，那么这个区域就不是单连通区域了，因为任何一条包含这个洞的封闭曲线都没办法收缩成一个点。



甚至，我们还可以在单连通区域内只挖掉一个点，那么剩下的区域就是多连通区域，因为任何包含这个点的封闭曲线都无法在该区域内收缩成一个点，它只能收缩到被挖掉的那个点，而这个点又不属于区域的内点。如图所示：











下面再看封闭曲线所围成的区域包含了奇点的情况。如下图：





04  柯西积分公式











参考资料：

[1]. 复变函数论，钟玉泉 著

[2]. 虚数的故事，[美]保罗·纳欣 著，朱惠霖 译
               
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