推论统计学

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推论统计学

原创 JulyDu 数据分析能量站 2024 年 09 月 20 日 08:00 北京



1. 置信区间（Confidence Interval, CI）

● 定义

置信区间是一个统计区间，用于估计总体参数，如均值或比例。它给出了一个范围，表明总体参数有特定概率（如 95%）落在这个区间内。

● 例子

一项研究调查了 100 名学生的数学成绩，平均分为 70 分，标准差为 10 分。95% 的置信区间可能是 68 到 72 分。这意味着我们有 95% 的信心认为，如果对整个学生群体进行测量，总体平均分将落在这个区间内。

● 优点

—— 提供了参数估计的不确定性范围。

—— 直观，易于解释。

● 缺点

—— 依赖于样本大小和数据的分布。

—— 在小样本情况下可能不够准确。

● 具体计算

假设我们有一个样本，其均值为 =50 ，标准差为 s=8 ，样本大小为 n=30 。我们想要计算 95% 的置信区间。

计算过程：

首先，我们需要确定标准误差（Standard Error, SE）：



然后，我们查找 t 分布表来找到自由度为 n-1=29 时 95% 置信水平下的 t 值（t 值大约为 2.045）。

最后，我们计算置信区间：



计算结果：



2. 区间估计（Interval Estimation）

● 定义

区间估计是一种统计方法，用于估计总体参数的可能值。它通常涉及到计算置信区间。

● 例子

在一项药物效果研究中，研究人员可能会计算药物效果的 95% 置信区间，以估计药物效果的不确定性。

● 优点

—— 提供了参数估计的不确定性范围。

—— 可以用于多种统计参数，如均值、比例、差异等。

● 缺点

—— 需要正确的样本大小和数据分布假设。

—— 在某些情况下可能不够精确。

● 具体计算

假设我们想要检验两种药物 A 和 B 的效果是否有显著差异。我们有以下数据：



计算过程：

首先，我们计算两个独立样本的均值差异的标准误差：



然后，我们使用 t 分布进行假设检验：



计算结果：



我们查找 t 分布表，对于自由度 df=nA+nB-2=38 和显著性水平 α=0.05 ，t 值大约为 2.022（双尾）。因为计算出的 t 值的绝对值小于临界 t 值，我们不能拒绝零假设，即没有足够的证据表明两种药物的效果有显著差异。

3. 显著性差异（Significance Difference）

● 定义

在假设检验中，显著性差异是指观察到的数据与零假设之间的差异是否足够大，以至于不太可能由随机因素造成。

● 例子

在一项 A/B 测试中，如果 P 值小于 0.05 ，我们可以拒绝零假设（即两种处理没有差异），认为存在显著性差异。

● 优点

—— 提供了一种量化差异显著性的方法。

—— 广泛应用于各种研究领域。

● 缺点

—— P 值可能被误解，它不表示效应大小或实际重要性。

—— 依赖于显著性水平的设定，可能受到主观因素的影响。

4. 元分析（Meta-analysis）

● 定义

元分析是一种统计方法，用于综合多个研究的结果，以获得更精确和可靠的效应量估计。

● 例子

在教育领域，研究者可能对多个关于某种教学方法效果的研究进行元分析，以确定这种方法是否普遍有效。

● 优点

—— 增加统计功效，减少随机误差。

—— 允许研究者探索研究间异质性的来源。

● 缺点

—— 依赖于纳入研究的质量。

—— 可能受到发表偏倚的影响。

5. 贝叶斯推断（Bayesian Inference）

● 定义

贝叶斯推断是一种统计推断方法，它基于贝叶斯定理，将先验知识与新数据结合起来，以更新对未知参数的信念。

● 例子

在医学研究中，研究人员可能使用贝叶斯推断来更新某种疾病治疗效果的信念，基于新的临床试验数据和先前的研究。

● 优点

—— 允许先验知识的纳入。

—— 提供了参数的完整概率分布。

● 缺点

—— 需要选择和定义先验分布，这可能具有主观性。

—— 计算可能比频率主义方法更复杂。

这些方法在统计分析中各有其用途和局限性，选择合适的方法需要考虑研究的目的、数据的特点以及分析的上下文。

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