无穷小引发的危机——实数的诞生【二】

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无穷小引发的危机——实数的诞生【二】

原创 cosmopolite nature 漫游指南 2024 年 09 月 30 日 20:33 安徽



其实早在古代数学中，就产生了一些引申出后來积分学的思想，但當時對該些思想的探討方式并不严格、系统。

积分的起源較早，古希腊时期欧多克索斯（约公元前 408-355 年）就曾用穷竭法來求面积与体积。阿基米德（约公元前 287-212 年）用內接正多边形的周長來穷尽圆周长，而求得圆周率的近似值；也用一連串的三角形來填充拋物线的图形，以求得其面积。這些都是穷尽法的古典例子。

中国的刘徽在公元三世纪也应用穷竭法求圆的面积。[2]在公元五世纪，祖冲之採用祖暅原理（卡瓦列里原理）计算出球体积。



随着新世纪欧洲文艺复兴的曙光到来，处于实际的需要的数学理论前所未有的有了极为广阔的应用场域，并且受到社会前沿知识分子的广泛关注和有组织的研究。当时，时代的趋势迫切要求数学家能够给出一种计算航海轨道和炮弹轨迹的精确方法。微分与积分的发明已经是大势所趋。

对于积分最早的提法来自博納文图拉·卡瓦列里，他提出体积和面积应该用求无穷小横截面/段的体积/面积的总和来计算，（他的想法类似于阿基米德在《方法論》（The Method）所提出的，但是卡瓦列里的著述丢失了，直到 20 世纪初期再被找到。最终，卡瓦列里的努力没有得到认可，这一方面是因为他的方法的误差巨大，而且他提出的那些无穷小的量因为超乎人们的认识经验，从一开始也不获认同。

自那以后，相关的学说和思想如雨后春笋般涌现于欧洲大陆上。17 世紀的前半是微积分学的酝酿時期，各种观念都在摸索中，计算只是个別的，应用也是個別的。而后戈特弗里德·威廉·萊布尼茨和艾萨克·牛頓两人几乎同時使微积分观念成熟，澄清微、积分之间的关系，使計算系統化，並且把微积分大規模使用到几何与物理研究上。在他們创立微积分以前，人們把微分和积分視為独立的学科，之後才确定地划分出“微积分学”这门学科。

其实，牛頓的老師伊薩克·巴罗就已经知道微分和积分之間有互逆的关系，但他不能确切这种关系的意义，其原因之一就是求导数在当时还沒有一套有系統的計算方法。古希腊平面幾何的成功对西方数学影响极其深远：在那时一般认为，唯有幾何的证明方法才是严谨、真正的数学，代数不过是輔助的工具而已。直到笛卡尔及费马倡导以代数的方法研究几何——进而发明了解析几何，使得所有几何学问题都能够囊括在代数学之中——这种态度才逐漸转变。

所以，当时的现状是，许多数学家仍然固守几何阵营而不能发展出有效的計算方法。牛顿的老师巴罗便是其中之一。而牛頓虽然放弃了他老師的纯几何观点而发展出了有效的微分方法，可是他迟迟未敢发表。尽管他通过微积分的技巧，由万有引力及三大运动定律出发說明了他的宇宙体系，但因害怕当时人們的批評，所以在他 1687 年的巨著《自然哲学的数学原理》中，仍把微积分的痕跡抹去，而以古典的几何论证的方式论述的……尽管数学家、科学家、工程師等不斷使用无穷小量來得到正确的結果，微积分却一直到十九世紀后半叶乃至 20 世纪才等到了更严谨的，使用了 ε-δ 語言和集合论描述的形式。这项工作由奧古斯丁·路易·柯西，伯納德·波尔查诺、卡尔·魏尔施特拉斯、格奥尔格·康托尔、理查德·戴德金等人相继接力完成——从微积分工具的诞生，到正式找到严格的数学基础，是无数数学家，前后历经 300 余年，接力劳动的成果。



也许大家会发现，这与我们学习数学分析的顺序恰恰相反——我们明明是先定义了实数的连续统，才能给出极限的清楚的定义，最终才用这些工具来学习的微积分。然而事实上，数学发展的历史恰好反过来——现实的重大需求倒逼微积分学的诞生，新的问题随着这门学科的深入被揭示出来，督促数学家为微积分的基础——极限——给出一个严密的定义而奋斗。

然而，极限的关于无限逼近而不相等的定义，无穷小到底是不是数的问题，让当时的人们，包括很多重要的学者摸不着头脑，这种状况使得微积分在应用中一时间引发了层出不穷的问题，数学大厦的根基再一次受到了如此广泛的质疑和挑战，所有当时的数学研究者和物理学家——但凡需要使用微积分的工具，后者又是如此广泛的应用——都绕不开摆在眼前的这个基本，而又富于挑战的严谨性问题。于是，不断有新的学说被提出，咖啡馆里总有两个或一群数学家在此论题上针锋相对,人类文明又一次得到跨越式的进步。这就是史上第二次数学危机的盛况。



关于微积分，朴素的理解就是斜率和面积的互逆关系。

导数——斜率的函数



积分——面积的函数



牛顿-莱布尼兹的贡献在于，通过论证每一段小的横纵坐标的改变量经过累加，正好是总的改变量，发现了微分和积分互为逆运算。更精确地说，它将一个反导数的具体值与定积分联系起来。因为计算反导数通常比应用定积分定义更加简单，微积分基本公式为计算定积分提供了一个行之有效的方式。它也可以被理解为微分是积分逆运算的精确解释。

寻找矩形的程序中，曲线只有在分割的份数足够多，或者说每一份的 ΔX 足够小时，每一份的形状才能逼近矩形。可惜的是，我们的数学不允许足够小这样不够精确的语言出现：既然他很小，为什么他不是 0 ？如果他是 0 ，为什么多项累加之后，还能变成正数？

最著名的反驳，来自当时大名鼎鼎的贝克莱主教：



他指出，牛顿为了求出多项式 x 的 n 次方的导数，首先假定无穷小量 dx 的存在，应用二项式 (x+dx) 的 n 次方，然后减去 x 的 n 次方，得到的增量再除以 dx 。然而，最后又让 dx 消失为 0 从而消去不确定的无穷小量。他认为：这个假设的关键在于最初无穷小量 dx 不为零，最后却又让它等于零。这种随心所欲的操作，让 dx 召之即来、挥之即去，成为幽灵般的存在。这个 dx 遂被称为“逝去量的灵魂”，成为牛顿一生的梦魇。

微积分在最初的发展阶段，更多的强调形式的计算结果而忽视了其原理的可靠性。如欧拉的关于无穷小量的分析介绍的其实是一系列的数学成果。由于无穷小量的概念没有得到澄清，与此相关的导数、微分、积分，并由此衍生的发散级数的求和等等都成了棘手的问题。

18 世纪中叶，法国数学家达朗贝尔（D'Alembert）提出把极限理论作为分析严格化的基础。他独辟蹊径地把微分看做是函数的极限，特别指出了一个量是另一个量的极限定义。但他没有逃脱传统的几何方法的影响，没能把极限用严格的形式表述出来。

几乎同时代，另一位法国数学家拉格朗日（Lagrange）则试图摆脱无穷小量和极限的概念，将任何函数展开为无穷的级数之和来定义各阶导数。这类泰勒（Taylor）级数虽然取得了一定的成效，但是同时也有很强的局限性。不仅在应用上无比繁琐，而且因为能表达为泰勒级数的函数自身需要很强的约束条件，这极大地限制了可微分函数的范围。拉格朗日的努力也在一定程度上宣告失败。



这个难题经过这一系列的高手的挑战和转手之后，将要转到法国一位老师的手中得到解决。

当时的法国，经历了大革命的洗礼，在思想领域又要引领欧洲大陆爆发新的一波冲击。从革命的战火中诞生的巴黎综合理工学院，孕育了一批引领世界的学术和军事领袖，备受世界的瞩目。

那么，这里要发生怎样的故事呢？且听下回分解！

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