第52号梅森素数

yangchuanju · 发表于 2024-11-13 17:30

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-11-13 17:34 编辑

最新的梅森素数是在2024年10月21日由GIMPS项目发现的，它是2^136279841-1。

第52个梅森素数于2024年10月21日被发现，这也是迄今为止发现的最大素数。这个梅森素数按照十进制计算有41024320位数字，比此前最大纪录的素数（24862048位）多1600多万位。
发现过程
第52个梅森素数的发现得益于“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目。该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。任何人只要去GIMPS的主页下载那个免费程序，就可以立即参加GIMPS项目去搜寻梅森素数。
梅森素数简介
梅森素数是指形如2^p-1的素数，其中指数p是素数。梅森素数的研究历史悠久，早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就用反证法证明了素数有无穷多个，并提出了少量素数可写成2^p-1的形式。由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为数学海洋中的璀璨明珠。
前沿意义
梅森素数的研究不仅在数学领域具有重要意义，而且在计算机科学、密码学等领域也有广泛的应用价值。例如，梅森素数在加密算法的改进中发挥着重要作用，因为目前使用的大多数加密方式都建立在对大数的分解上，秘钥中使用的素数越大，那么对加密内容来说，被破解的难度越大。
最新进展
截至2024年10月21日，人类已知的梅森素数共有52个。最新的第52个梅森素数的发现标志着这一领域的又一重大突破，也为未来的科学研究提供了新的方向和可能性。

yangchuanju · 发表于 2024-11-13 17:40

第52号梅森素数
360搜索第52号梅森素数

第52个梅森素数被发现
http://www.zizzs.com/gk/gaokao/182346.html

太阳 · 发表于 2024-11-13 22:03

第52号梅森素数，使用什么方法找到第52号梅森素数？

yangchuanju · 发表于 2024-11-15 09:11

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-11-15 12:11 编辑

《初等数论及其应用（第5版）》7.3节习题31——
证明：如果n是一个正整数且2n+1是一个素数，那么或者(2n+1)|Mn，或者(2n+1)|(Mn+2)。
（提示：用费马小定理证明Mn*(Mn+2)=0 (mod 2n+1)）

换一种说法，
对于梅森数2^p-1当指数n是模4余3的素数且2n+1也是素数时，2^p-1一定能够被2n+1整除，例p=11,23,83,131,179,191等；
对于正整数2^p+1当指数n是模4余1的素数且2p+1也是素数时，2^p+1一定能够被2p+1整除，例p=5,29,41,53,89,113,173,233,281等。

yangchuanju · 发表于 2024-11-15 09:12

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-11-15 12:14 编辑

指数n是模4余3的奇素数时，梅森数2^n-1及素因子减1模8余2,8,10,16,18，……8k,8k+2；
指数n是模4余1的奇素数时，梅森数2^n-1及素因子减1模8余6,8,14,16,20，……8k,8k+6；
梅森数都是模8余7的，其素因子都是模8余7或余1的，k≥1。

指数n是模4余1的奇素数时，(2^n+1)/3的素因子减1模8余2,8,10,16,18，……8k,8k+2；
指数n是模4余3的奇素数时，(2^n+1)/3的素因子减1模8余6,8,14,16,20，……8k,8k+6；
正整数(2^n+1)/3都是模8余1的，其素因子都是模8余3或余1的，k≥1。

yangchuanju · 发表于 2024-11-15 09:13

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-11-16 06:29 编辑

不大于10000的模4余3素数中有100个2p+1型素数，它们都是相应梅森数的一个最小素因子——
p 2p+1 p 2p+1 p 2p+1
3 7 2339 4679 5303 10607
11 23 2351 4703 5399 10799
23 47 2399 4799 5639 11279
83 167 2459 4919 5711 11423
131 263 2543 5087 5903 11807
179 359 2699 5399 6131 12263
191 383 2819 5639 6263 12527
239 479 2903 5807 6323 12647
251 503 2939 5879 6491 12983
359 719 2963 5927 6551 13103
419 839 3023 6047 6563 13127
431 863 3299 6599 6899 13799
443 887 3359 6719 6983 13967
491 983 3491 6983 7043 14087
659 1319 3539 7079 7079 14159
683 1367 3623 7247 7103 14207
719 1439 3779 7559 7151 14303
743 1487 3803 7607 7211 14423
911 1823 3851 7703 7643 15287
1019 2039 3863 7727 7691 15383
1031 2063 3911 7823 7823 15647
1103 2207 4019 8039 7883 15767
1223 2447 4211 8423 8111 16223
1439 2879 4271 8543 8243 16487
1451 2903 4391 8783 8663 17327
1499 2999 4871 9743 8951 17903
1511 3023 4919 9839 9059 18119
1559 3119 4943 9887 9371 18743
1583 3167 5003 10007 9419 18839
1811 3623 5039 10079 9479 18959
1931 3863 5051 10103 9539 19079
2003 4007 5171 10343 9791 19583
2039 4079 5231 10463
2063 4127 5279 10559

yangchuanju · 发表于 2024-11-15 09:29

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-11-15 09:40 编辑

素指数不大于10000时，有22个梅森素数2^n-1——
指数位数数值
2 1 3
3 1 7
5 2 31
7 3 127
13 4 8191
17 6 131071
19 6 524287
31 10 2147483647<10>
61 19 2305843009213693951<19>
89 27 618970019642690137449562111<27>
107 33 162259276829213363391578010288127<33>
127 39 170141183460469231731687303715884105727<39>
521 157 6864797660...51<157>
607 183 5311379928...27<183>
1279 386 1040793219...87<386>
2203 664 1475979915...07<664>
2281 687 4460875571...51<687>
3217 969 2591170860...71<969>
4253 1281 1907970075...91<1281>
4423 1332 2855425422...07<1332>
9689 2917 4782202788...11<2917>
9941 2993 3460882824...51<2993>

素指数不大于10000时，有20个(2^n+1)/3型素数——
指数数值
3 3
5 11
7 43
11 683
13 2731
17 43691
19 174763
23 2796203
31 715827883
43 2932031007403<13>
61 768614336404564651<18>
79 201487636602438195784363<24>
101 845100400152152934331135470251<30>
127 56713727820156410577229101238628035243<38>
167 62357403192785191176690552862561408838653121833643<50>
191 1046183622...83<58>
199 2678230073...63<60>
313 5562466239...31<94>
347 9556244233...43<104>
701 3506757267...51<211>

yangchuanju · 发表于 2024-11-15 09:43

第23-52号梅森素数
序号指数
23 11213
24 19937
25 21701
26 23209
27 44497
28 86293
29 110503
30 132049
31 216091
32 756839
33 859433
34 1257787
35 1398269
36 2976221
37 3021377
38 6972593
39 13466917
40 20996011
41 24036583
42 25964951
43 30402457
44 32582657
45 37156667
46 42643801
47 43112609
48 57885161
49 74207281
50 77232917
51 82589933
52 136279841

yangchuanju · 发表于 2024-11-15 13:17

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-11-15 18:39 编辑

2的1213次方减1是一个最小的尚未分解到底的梅森数，
2^1213-1<366>=327511×7150798418...71<63>×6022881435...11<297>
已经得到的素因子是327511和7150798418...71<63>，
没有分解到底的复合因子为297位。

1213模4余1，它的素因子减1应该是1213*8k或1213*(8k+6)型素数；
【第1素因子327511除以1213等于270余6，270除以8等于33余6，属于1213*(8k+6)+1型素数；】
第2素因子63位，第3素因子应该是63--148位；
63位第2素因子7.15*10^62以内的素数约为7.15*10^62/ln(7.15*10^62)个，
第3复合因子6.02288*10^296的平方根等于2.454*10^148，149位的2.454*10^198以内的素数约为2.454*10^148/ln(2.454*10^198)个，
63-149位之间的素数约为2.454*10^148/ln(2.454*10^198)-7.15*10^62/ln(7.15*10^62)≈2.454*10^148/ln(2.454*10^198)个；
其中1213*8k或1213*8k+6型素数约占1/(2*1213)，约为2.454*10^148/ln(2.454*10^198)/2426个。
首先求出这些素数再逐一试除，慢慢求算呗！

如不愿求素数，用63-149位中的1213*8k+1和1213*(8k+6)+1型的奇数逐个试除也是可以的；
这样的奇数约有2.454*10^148/2426个。

试除到整除出现，第3个素因子即被找到。
假定第3素因子不大于99位，297-99=198或297-99+1=199，余因子大于198或199位，仍有可能是合数，还需进一步试除下去；
假定第3素因子已达到100-149位，297-100=197或297-100+1=198，余因子小于197或198位，不可能再有大于100位的素因子，分解到底。
（在得到第3个素因子后，可用其它方法另行判定余因子是不是素数。）

p2=715079841864486572798550389025242773233223013545064445043124471
c3=602288143593720536806089286738709175972359125227761761564073227910379498285174671775644305722270614135100412938071141915024322878163325882047318951741757889916312348536315125683454292668478299147363953500168798099737705487101263107775268036487596518883077658199869205832214060428355682611836617711

yangchuanju · 发表于 2024-11-15 19:11

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-11-16 07:20 编辑

以下111个1213*8k+1和1213*(8k+6)+1型奇数，其中的素数只有15个（包含有2^1213-1的第1素因子327511，第12个素数）——
k 1213*8k+1 1213*(8k+6)+1 素数
0 —— 7279
1 9705 16983
2 19409 26687 26687 is prime
3 29113 36391
4 38817 46095
5 48521 55799 55799 is prime
6 58225 65503
7 67929 75207
8 77633 84911
9 87337 94615 87337 is prime
10 97041 104319
11 106745 114023
12 116449 123727 123727 is prime
13 126153 133431
14 135857 143135
15 145561 152839 152839 is prime
16 155265 162543
17 164969 172247
18 174673 181951 174673 is prime
19 184377 191655
20 194081 201359 201359 is prime
21 203785 211063 211063 is prime
22 213489 220767
23 223193 230471 230471 is prime
24 232897 240175
25 242601 249879
26 252305 259583 259583 is prime
27 262009 269287
28 271713 278991
29 281417 288695
30 291121 298399 298399 is prime
31 300825 308103
32 310529 317807
33 320233 327511 327511 is prime
34 329937 337215
35 339641 346919
36 349345 356623
37 359049 366327
38 368753 376031
39 378457 385735
40 388161 395439
41 397865 405143 405143 is prime
42 407569 414847
43 417273 424551
44 426977 434255
45 436681 443959
46 446385 453663
47 456089 463367
48 465793 473071
49 475497 482775
50 485201 492479 485201 is prime
51 494905 502183
52 504609 511887
53 514313 521591 514313 is prime
54 524017 531295
55 533721 540999
……

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