高等数学一些出名的点：驻点，拐点，鞍点，极值点

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高等数学一些出名的点：驻点，拐点，鞍点，极值点

原创 云深之无迹 云深之无迹 2024 年 10 月 08 日 23:45 江苏



1. 驻点

● 定义: 函数的一阶导数为零的点称为驻点。即，若f'(x)=0，则x为函数f(x)的驻点。

● 几何意义: 在驻点处，函数的切线平行于x轴，函数的增长或下降趋势可能发生变化。

● 与极值点的关系: 驻点是极值点的必要不充分条件，即极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。

2. 极值点

● 定义: 函数在某一点的取值比其附近任意点的取值都大（或小），则称该点为函数的极大值点（或极小值点）。

● 几何意义: 极值点对应函数图像上的峰值或谷值。

● 与驻点的关系: 极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。

3. 拐点

● 定义: 函数的凹凸性在该点发生改变的点称为拐点。

● 几何意义: 拐点处函数的图像由凹变凸或由凸变凹。

● 判断方法: 一般通过判断二阶导数的符号变化来确定拐点。若二阶导数在拐点处变号，则该点为拐点。

● 高等数学上指曲线上凸与下凹的分界点。

拐点（Inflection point）或称反曲点，是一条连续曲线改变凹凸性的点，或者等价地说，是使切线穿越曲线的点。

4. 鞍点

● 定义: 鞍点是一种特殊的驻点，它既不是极大值点也不是极小值点。

● 几何意义: 鞍点附近的函数图像像马鞍的形状，即在某些方向上是极大值点，在另一些方向上是极小值点。

● 判断方法: 通常通过分析函数在鞍点附近的等高线或三维图像来判断。



若曲线图形在一点由凸转凹，或由凹转凸，则称此点为拐点。直观地说，拐点是使切线穿越曲线的点。

若该曲线图形的函数在某点的二阶导数为零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。这是寻找拐点时最实用的方法之一。

二阶导数不存在，无定义点，看这个点的左右两边。

拐点的必要条件：设 f(x) 在 (a,b) 内二阶可导，x0∈(a,b) ，若 (x0,f(x0)) 是曲线 y=f(x) 的一个拐点，则 f″(x0)=0 。

比如，f(x)=x^4 ，有 f″(0)=0 ，但是 0 两侧全是凸，所以 0 不是函数 f(x)=x^4 的拐点。

拐点的充分条件：设 f(x) 在 (a,b) 内二阶可导，f″(x0)=0 ，若在 x0 两侧附近 f″(x) 异号，则点 (x0,f(x0)) 为曲线的拐点。

否则（即 f″(x0) 保持同号），(x0,f(x0)) 不是拐点。

二阶常系数非齐次线性微分方程



● 二阶: 微分方程中最高阶导数项为二阶导数。

● 常系数: 微分方程中各阶导数的系数均为常数。

● 非齐次: 方程右侧不为零，即存在一个非零的函数。

● 线性: 方程中未知函数及其各阶导数都是以一次方出现，且没有乘积项。

特征方程



解的情况





在前面说过，后面的叫激励项，也会影响最终的结果，就是特解。现在可以给出结果的有下面这几种。



方程里面的 e 的系数之间是线性无关的，也就是系数代表的项都为 0 。





上面这几个 PPT 也是对 e 无关的一个证明。

补一个反比例函数，绘图有用



在绝大部分情况下，我们会使用 θ 作为外积分，r 作为内积分；同时很容易确定二者的积分域：



这个是重积分变成累次积分时候的次序问题。

https://wap.sciencenet.cn/blog-39346-1287114.html?mobile=1

https://blog.arg.pub/2021/10/12/ ... E6%B3%95/index.html

https://math.fudan.edu.cn/_uploa ... 0b-a32e4e32dcfe.pdf

https://www.cnblogs.com/Mount256/p/17502532.html

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