费马大定理：最神奇的猜想注释，最漫长的数学接力

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费马大定理：最神奇的猜想注释，最漫长的数学接力

原创 关注全球科研的 科学方程式 2024 年 09 月 02 日 12:10 北京

1994 年 9 月，一个星期一的早晨，安德鲁·怀尔斯教授（Andrew Wiles）决定最后检视一次他的证明。如果再找不出问题的答案，他准备赔上名誉向世界承认失败。

一年多前，在牛顿研究所（INI）举办的那场数学讲座上，他曾踌躇满志地宣布，他，安德鲁·怀尔斯完成了费马大定理的证明！

久远的数学之谜终获破解，现场响起了热烈的掌声。尽管证明的细节还待核实，但是各家媒体已经迫不及待的将消息传播至全世界。


1993 年 6 月 23 日，面对现场 200 位数学家，安德鲁·怀尔斯在 INI 宣布了他对费马大定理的证明。经媒体传播，怀尔斯一夜成名，风光无限。

然而，等到夏天的喧嚣褪去，怀尔斯却被审稿人告知，他的证明存在漏洞。自信的他以为很快就能补救。

一年多过去了，他尝试了一切可能的方式，依然没有结果，濒临放弃。就在这个早晨，一个突然迸发的灵感，让他在“废墟”之中找到了答案。足足有 20 分钟，怀尔斯呆望着那个结果不敢相信。然后，他合上书页，又去普林斯顿大学踱步了一整天。

当他再次回到桌子旁，看见那些答案还在，终于可以确信 300 多年前法国数学家皮埃尔·费马（Pierre de Fermat）在丢番图《算术》页边笔记留下的那段话被他补全了。

怀尔斯感慨万千：“再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了，我的心已归于平静。”


皮埃尔·费马（1607-1665），于 1637 年在读书笔记中陈述了“费马大定理”，却未留下任何证明。他在一旁补充：“我对此命题有一个真正奇妙的证明，但这个边距太窄，容纳不下它。”成为一句经典注释。

01  世纪猜想，从页边的小小注释开始

当整数 n＞2 时，关于 x,y,z 的不定方程，x^n＋y^n=z^n ，无正整数解。

如上所述，费马大定理的陈述简单而清晰，却困扰了数学界长达三个世纪。并与四色定理、哥德巴赫猜想，统称为“数学界的三大难题”。不难发现，费马大定理是从我们熟知的勾股定理（也称“毕达哥拉斯定理”）扩展而来。

当 n=2 时，x^2＋y^2=z^2 ，可以在自然数中找出无限组勾股数。

然而，当 n 被设定为大于 2 的整数时，则不存在任何一组自然数，能使 x^n＋y^n=z^n 成立。


费马大定理的证明，被比作数学界的圣杯。

没有人知道，费马是否真的找到了绝妙的证明方法。但是他留下的那句经典注释——“我对此命题有一个真正奇妙的证明，但这个边距太窄，容纳不下它。”

或无心或有意的，向全世界发起了一场智力挑战。

所有聪明的头脑都像是被好奇心下了蛊，不惜花费数年甚至一辈子时间想要破解它。其中不乏欧拉、高斯、柯西、勒让德、狄利克雷、库默尔等大数学家，却最多只能找到个别特例，证明该定理对某些数字成立。


瑞士数学家欧拉于 1770 年证明了 n=3 的费马大定理。德国数学家狄利克雷和法国数学家勒让德于 1825 年独立证明了 n=5 的费马大定理。

费马大定理之所以难被证明，原因之一是难以处理无穷的概念。即使是解决了四色问题的超级计算机，它可以帮忙演算 400 万以内的 n 值对于费马大定理是成立的，也不能宣称证明了整个定理。

02  克服偏见，女数学家推动证明新思路

进入 19 世纪后，费马大定理逐渐成为最重要的数论问题之一。

1804 年，热衷于数论问题的法国数学家索菲·热尔曼（Sophie Germain）在读完高斯的《算术研究》后，化名“勒布朗先生”（Monsieur LeBlanc），开始给倾慕的作者本人写信。她在信中介绍了自己是一名数学爱好者，想要和这位“数学王子”讨论费马大定理。


索菲·热尔曼（1776-1831），法国数学家、物理学家和哲学家。她是弹性理论的先驱之一，首位获得巴黎科学院大奖的女性。由于当时社会对性别的偏见，她不敢以女性身份与高斯通信。

热尔曼表现得很积极，一封接一封的更新着自己的工作进度。高斯却很少在回信中发表评论。因为他自己在证明了 n=5 的情形后再无突破（生前未发表），对费马大定理已经放弃。

不过热尔曼也没有灰心丧气，因为她还有一个通信对象是勒让德。正是通过后者在 1823 年提交的论文让我们知道了索菲·热尔曼定理——被看作是关于费马大定理的第一个重大进步。

热尔曼的证明工作是将费马大定理（FLT）分解为两种情况：对于 p 为奇素数的方程：x^p+y^p=z^p 。

FLT I ：没有使 x 、y 和 z 与 p 互质的整数解，即 x 、y 和 z 都不能被 p 整除。

FLT II ：没有使三个数中有且只有一个能被 p 整除的整数解。

索菲·热尔曼定理证明了当 p 和 2p+1 都是素数时，FLT I 成立。

这样的素数 p ，也被称为索菲·热尔曼素数。

而对于指数为合数（两个以上素数之积）的情况，则不再需要证明。

在热尔曼工作的基础上，后续还有一大批数学家沿着她的方向，扩展她的成果。虽然这种方法有很大的局限性，但是受她影响，之后的研究者不再只关注单个指数的证明，而是趋向于证明费马大定理的一般情况。

03  求证心切，法国科学院陷“乌龙”风波

为了尽快找到答案，法国科学院为费马大定理专门设置了奖项，进一步推升了该问题的影响力。

1847 年，法国科学家奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy 和加布里埃尔·拉梅（Gabriel Lamé）先后宣布自己基本证明了费马大定理。拉梅声称，他的证明引用了约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）复数系中的唯一因子分解定理。刘维尔则说，这一定理源自欧拉和高斯的思想。




柯西（1789-1857）与拉梅（1795-1870）年龄相仿，都是法国名声显赫的数学家。

圈圈绕绕，越多越多的名师牛人牵扯其中，答案彷佛十分可靠。然而结果却是，两人都错了。

高斯的学生、德国数学家恩斯特·库默尔（Ernst Kummer）证明了刘维尔复数系的唯一因子分解定理并不普遍成立。由此推翻了拉梅和柯西的证明基石。

此时，真正更接近答案的是库默尔本人，他也在研究费马大定理。库默尔创立了一种“理想数”理论，证明了费马大定理对于除一小部分素数之外的常规素数都是不可解的。在 100 以内，这一小部分非规则素数只有 37 、59 、67 。


恩斯特·库默尔（1810-1893）也曾认为自己证明了费马大定理，被解析数论创始人之一的狄利克雷发现了其中的错误，进而推翻。

库默尔的成就，是继热尔曼之后的又一次重大突破。虽然他未完全证明费马大定理，法国科学院还是将 1857 年的大奖授予了他。遗憾的是，库默尔之后近半个世纪，费马大定理证明停滞不前。

04  奇妙缘分，谷山-志村猜想从此出炉

1954 年，24 岁的志村五郎从东京大学数学系毕业后，留校担任助教。某日，他准备去图书馆借一本书，不想这本书却被一个叫谷山丰的人借走了。

志村给这位并不熟悉的校友写了封信。几天后，谷山给他回了信，并告知他，他们正在进行同一项研究。




志村五郎（1930-2019）和谷山丰（1927-1958）

遗憾的是，两人仅共事了 4 年，谷山丰于 1958 年离奇自杀。他留下的工作，志村决定帮他完成。

奇妙的缘分促成了两人之间的旷世合作。他们一起组织讨论班，一起研究冷僻的模形式（modular form），一起提出了谷山-志村猜想：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。

虽然他们没能证明这个猜想，但是却将两个完全不同的数学领域（椭圆曲线和模形式）衔接在一起，无意间打开了通往费马大定理的大门。

1985 年，德国数学家格哈德·弗雷（Gerhard Frey）指出了“谷山-志村猜想”和费马大定理是共存关系。1986 年，美国数学家肯尼斯·里贝特（Kenneth Ribet）肯定了弗雷的说法。数学界开始形成一个重要的共识：只要证明“谷山-志村猜想”，那么费马大定理就会自动成立。

05  最后一棒，怀尔斯孤独奔跑的七年

虽然曙光在前，但是心存希望的人越来越少了。

谷山-志村猜想已经问世 30 年，费马大定理更是被反反复复研究了 350 年，无数失败的例子都在呐喊——这个命题不可能有完整证明。


曾经有人问过二十世纪最伟大的数学家之一、逻辑学家大卫·希尔伯特（David Hilbert），为什么不尝试证明费马大定理。他回答说：“我没有那么多时间浪费在一件可能会失败的事情上。”

下一个接棒人做好了徒劳无功的准备，他就是安德鲁·怀尔斯。幸运的是，前人已经帮他指明了方向：只需证明椭圆曲线的一个特定子集（包括假设的费马椭圆曲线）是模形式。

从 1986 年开始，七年时间，只有他的妻子知道他在干什么。他抛下了一切无关的工作，以近乎隔绝的姿态独自迎战。（当论文被审查出问题后，他的学生理查德·泰勒才加入）。

这是一项巨量工程，由数以百计的计算通过数以千计的逻辑链环错综复杂地构造而成。只要有一个差错，整个证明将可能失去价值。

这也是一项世纪汇总，怀尔斯整合了百年来突破性发展的模形式、谷山-志村猜想、伽罗瓦理论和科利瓦金-弗莱切方法，又创造了许多新的工具，搭建起了论文中牢固的基石。


10 岁那年，安德鲁·怀尔斯在一本名叫《最后的问题》的书中邂逅费马大定理，从此埋下了想要挑战的种子。

故事又回到了文章的开篇，怀尔斯成功了，整个数学界和国际媒体都为之欢欣鼓舞，它被歌颂为二十世纪最辉煌的数学成就。


由于安德鲁·怀尔斯证明费马大定理时已经 41 岁，无缘菲尔兹奖，但他收获了 1995-1996 年沃尔夫奖、2016 年阿贝尔奖。国际数学联盟还专门为他颁发了首个国际数学联盟特别奖。

06  追求真理，数学家们永远直面挑战

作为一个孤立的命题，证明了费马大定理意味着什么呢？

如果回顾历史就会发现，它不只是属于怀尔斯个人的成功，是从费马、欧拉、热尔曼、库默尔、谷山丰、志村五郎、弗雷、里贝特等一大批数学家接力论证的成果。无论是部分的突破，还是最后完整的证明，都给数学界带来实质性的影响——激发了 19 至 20 世纪数论领域的跨越性发展。

更为可贵的是，面对三个多世纪的壮烈失败，还有人愿意向费马大定理发起挑战，本身也是一件很了不起的事。

这就是数学的魅力，以永恒的真理向人类的智慧和好奇心发出挑战，激励一代又一代的科学家开辟新的方法，拓展数学研究的广度和深度。



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