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角平分线与构造全等三角形

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发表于 2024-11-18 00:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
角平分线与构造全等三角形

原创 太阳元素 太阳元素 2024 年 10 月 09 日 20:29 广东

角平分线的性质是平面几何日常考点,一般应用是比例线段,也可构造全等三角形解题。

题:

在 ΔABC 中,∠ABC = 60°,∠BAC 的平分线为 AD ,∠ACB 的平分线为 CE 。

求证:AC = AE + CD 。


原图:



解题图:



证:

过 D 作 DF⊥CE 交 AC 于 F ,设 AD 、CE 交于 O 。

CE 平分 ∠ACB ,即 CE 垂直平分 DF ,CF = CD ,∠COF = ∠DOC 。

∠AOE = ∠OAC + ∠OCA = ∠BAC/2 + ∠ACB/2 = (180° - ∠ABC)/2 = 60° 。

∠COF = ∠DOC = ∠AOE = 60°。

∠AOF = 180° - ∠AOE - ∠COF = 180° - 60° - 60° = 60° = ∠AOE 。

AD 平分 ∠CAB ,即 ∠OAE = ∠OAF ,故

ΔAOE ≌ ΔAOF ,AE = AF ,AC = AF + FC = AE + CD 。

PS:这道题不难,但不是考角平分线的线段比例性质,而是证明这个性质所用的方法——构造全等三角形,偏离了一般应用习惯,也算是拓宽了思路。

太阳元素

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发表于 2024-11-18 11:05 | 显示全部楼层
A=60+2a,C=602a,AC=sin(60)

AE=sin(60)sin(30a)cos(a),CD=sin(60)sin(30+a)cos(a)

AE+CD=sin(60)sin(30a)cos(a)+sin(60)sin(30+a)cos(a)=sin(60)
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