欧拉-拉格朗日方程、哈密顿原理、哈密顿正则方程、哈密顿-雅可比方程的内在联系与不同

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欧拉-拉格朗日方程、哈密顿原理、哈密顿正则方程、哈密顿-雅可比方程的内在联系与不同

原创 亦然1 科学与技术研发中心 2024 年 10 月 16 日 15:24 北京

分析力学是物理学的一个重要分支，它通过引入变分原理，提供了一种深刻理解物理系统演化的方式。特别是在研究经典力学系统时，欧拉-拉格朗日方程和哈密顿方程成为了描述系统演化轨迹的核心工具。这些方程不仅在力学中起到了重要作用，还成为了后续理论发展，如量子力学和相对论的基础。



1. 欧拉-拉格朗日方程与哈密顿原理的联系与区别

欧拉-拉格朗日方程是通过变分法得出的，它描述了一个系统在给定拉格朗日函数 L=T-V （动能减去势能）的情况下，如何演化。系统的轨迹是使得作用量



最小的路径。因此，欧拉-拉格朗日方程可以看作是最小作用量原理的数学表现形式。

哈密顿原理，或称为最小作用量原理，广泛地应用于各类物理系统中。它指出一个物理系统的实际演化轨迹是使得作用量 S 变分为零的轨迹。显然，哈密顿原理与欧拉-拉格朗日方程存在着紧密的联系，因为欧拉-拉格朗日方程是哈密顿原理在经典力学中的具体表现。

那么，为什么还要提出哈密顿原理呢？首先，哈密顿原理是一种更为广义的表述方式，它不仅可以应用于力学，还可以应用于光学、电磁学等广泛领域。而欧拉-拉格朗日方程则主要局限于经典力学系统。其次，哈密顿原理作为一种变分法的基础，可以更直接地与量子力学中的路径积分方法联系起来，展示其在现代物理中的广泛适用性。因此，哈密顿原理的提出是为了提供一种更普遍的理论框架，超越了欧拉-拉格朗日方程在经典力学中的局限性。



2. 哈密顿正则方程与欧拉-拉格朗日方程的转变

哈密顿正则方程是通过引入广义动量



而得出的。哈密顿方程将系统的运动方程从欧拉-拉格朗日方程中的二阶微分方程转换为一阶微分方程，并且通过哈密顿量



来描述系统的演化。

这种转换并不是仅仅为了形式上的简化。通过将广义坐标  和广义动量  作为独立变量，哈密顿正则方程可以处理更加复杂的系统，尤其是那些具有对称性或守恒量的系统。例如，在经典力学中，哈密顿正则方程可以更容易地处理粒子在势场中的运动。此外，在统计力学和量子力学中，哈密顿形式也是关键，因为它与薛定谔方程的形式存在内在联系。

尽管哈密顿正则方程的形式似乎更复杂，但它实际上为物理系统的研究提供了更灵活的工具。例如，在处理碰撞问题、系统约束问题或研究守恒量时，哈密顿正则方程的使用更加自然和方便。

3. 哈密顿-雅可比方程的引入与应用

哈密顿正则方程和哈密顿原理虽然足以求解系统的真实轨迹，但在某些情况下，哈密顿-雅可比方程提供了更为优雅的解法。哈密顿-雅可比方程是一阶偏微分方程，其解可以用于生成正则变换，使得新的广义坐标和动量成为常数，从而极大简化问题的求解。

哈密顿-雅可比方程的引入，主要是为了在某些复杂问题中，找到合适的坐标变换，使得哈密顿量的求解变得更加简便。例如，在天体力学中的开普勒问题，利用哈密顿-雅可比方程可以引入合适的坐标变换，将行星轨道问题的求解化简为常微分方程问题，从而更容易求解出行星的运动轨迹。

然而，哈密顿-雅可比方程并不总是易于求解。它通常需要通过分离变量法才能得到解，并且只有在某些特殊的情况下才能成功分离。尽管如此，哈密顿-雅可比方程的求解仍然为物理学家提供了一种强大的工具，尤其是在研究具有复杂对称性和守恒量的系统时。



4. 以开普勒问题为例：三种方法的比较

开普勒问题是一个经典的天体力学问题，它描述了行星在太阳引力作用下的运动。为了说明欧拉-拉格朗日方程、哈密顿正则方程和哈密顿-雅可比方程的优缺点，我们以开普勒问题为例，采用极坐标系  求解行星的轨道方程。

在欧拉-拉格朗日方程中，选择拉格朗日函数

，

动能为

，

势能为

。

通过对 r 和 θ 应用欧拉-拉格朗日方程，可以得到行星运动的二阶微分方程，进而求解出轨道方程。欧拉-拉格朗日方程的优点在于它形式简洁，特别适合处理由广义坐标和速度描述的经典系统。

在哈密顿正则方程中，我们引入广义动量

， ，

并将哈密顿量表示为

。

通过哈密顿正则方程，我们可以将问题分解为两个一阶微分方程，分别对 r 和 θ 进行求解。哈密顿正则方程的优势在于它将系统的运动描述为一阶微分方程，从而可以更直接地应用守恒量。

哈密顿-雅可比方程的解法则是通过引入一个生成函数 S，其满足哈密顿-雅可比方程

。

在开普勒问题中，通过分离变量法求解生成函数 S ，可以简化行星运动方程，并且通过正则变换将系统的哈密顿量归零，极大简化了系统的求解过程。

5. 结论与展望

通过对欧拉-拉格朗日方程、哈密顿正则方程和哈密顿-雅可比方程的比较，我们可以看到这些方法各自的优缺点。欧拉-拉格朗日方程更适合处理经典力学中的简单系统，而哈密顿正则方程通过引入动量和坐标的独立性，为研究复杂系统提供了更强大的工具。哈密顿-雅可比方程则在求解具有对称性和守恒量的系统中表现出色，尤其是在引入合适的坐标变换时能够极大简化问题的求解。

未来，随着物理学家们对更复杂系统的研究深入，尤其是在量子力学和广义相对论中的应用，我们可以预见到这些方程将继续发挥它们的重要作用，同时也有可能出现新的分析工具和方法，进一步扩展我们对物理系统的理解。

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