彼得·舒尔策与望月新一

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彼得·舒尔策与望月新一

原创 起舞的神支 哲史微言 2024 年 09 月 17 日 09:48 北京

2012 年 8 月，当日本京都大学数理解析研究所的望月新一将一份 500 多页的论文发在自己的主页上时，他宣称自己证明了数论中最为艰深的猜想—— ABC 猜想；ABC 猜想于 1985 年由乔瑟夫·奥斯达利（Joseph Oesterlé）及大卫·马瑟（David Masser）两位数学家提出，ABC 猜想提出后，数论中迅速产生了，一系列相关的推论，因此，ABC 猜想显得重要起来，猜想的内容是，对于任意大于 1 的常数 ε ，存在一个常数 C(ε) ，使得对于大部分满足条件 a + b = c 的正整数三元组 (a, b, c) ，都有 c＜(rad(a * b * c))^ε。在这里，rad(n) 表示整数 n 的所有质因数的乘积。望月新一发表论文的这一年，彼得·舒尔策，刚好从德国波恩大学毕业，获得该校 W3 教授（最高级别教授），并于 2018 年获得了数学界的最高荣誉奖——菲尔兹奖。


图 1 彼得·舒尔策

彼得·舒尔策，似乎天生就是为数学而来，1987 年 12 月 11 日出生于德国德累斯顿的一个典型理工科学家庭，父亲是物理学家，母亲计算机科学家，姐姐是化学家，而舒尔策似乎成了他们的抽象——数学家；在家庭的熏陶下，彼得·舒尔策很快就显现出了特有的数学天赋，在历史上，德国曾经是世界数学研究的中心，也曾诞生过一些超级天才，如高斯、黎曼、莱布尼茨、希尔伯特；因此，中学时代舒尔策的天赋并没有被数学界所发现，不过，不被数学界发现的天赋，毫不影响其成为校园里的学神，终于，在 2004 ，17 的舒尔策被选入了德国 IMO 国家队，成为一名竞赛选手，但第一次参赛成绩还不算圆满，只拿到了银牌，据后来记述，未拿到满分的原因是做题时间不够，有未完成题目；不过在 2005-2007 的后来三届 IMO 比赛中，都代表德国队获得了金奖。2007 年，20 岁的舒尔策离开中学，进入德国的波恩大学数学系学习，也许是奥赛提前学习的缘故，也许是他本身天赋过人，在波恩大学他仅仅用了 3 个学期便学完了本科，接着，又用 2 个学期学完了研究生课程。之后，他的导师是数学家米歇尔拉波波特，希望他跳过博士课程，直接申请数学博士学位，于是，接下来的一年多时间里，舒尔兹完成了他出道时的重要论文，“Perfectoid Spaces”（状似完备空间），虽然，这是在他人理论的基础上抽象的，但是他的创新之处在于，创建了一个新的代数几何研究框架，这个框架使得，原先的一些基础理论更加紧凑，并在此基础上，给出了 Weight-Monodromy 猜想的特殊解法。这篇博士论文成了，年仅 24 岁的舒尔策，在数学界名声鹊起的标志之作，而状似完备空间理论也被誉为代数几何未来几十年最具潜力的几大框架体系之一。同年，波恩大学免去了他的教授资格考试，直接破格聘任他为教授，这也让舒尔策创下了德国最年轻教授的记录。在接下来的一段时间，开始了他的疯狂拿奖模式。像拉马努金奖、克雷研究奖、费马奖、莱布尼茨奖、欧洲数学学会奖等等，都被他收入囊中。值得一提的是，上述的每一个奖，舒尔策都是最年轻的获奖者。在 2018 年的国际数学家大会上，彼得·舒尔策也终于收获了数学界的最高荣誉——菲尔兹奖。著名数学家法尔廷斯评价说：“舒尔策是我这一生见过的最好的三个数学家之一”。舒尔策甚至被人们誉为法尔廷斯和格罗滕迪克的接班人。

法尔廷斯，1986 年菲尔兹奖得主，在普林斯顿，他是望月新一的毕业论文和博士论文导师，他曾经这样评价望月新一，“显然他是更加出众的一位”，望月新一，1969 年 3 月 29 日出生于日本东京，父亲为哈佛大学中东研究中心研究员，母亲为美籍犹太人，5 岁时，随父母移居纽约，之后短暂回到日本在筑波大学附属中学就读，之后又移居美国新泽西州新罕布什尔市，望月新一在那里的一所贵族学校（菲利普斯埃克塞特学院）完成了他的高中学业，因为特别的原创性思维，获得了进入普林斯顿大学就读的名额，1985 年，16 岁的望月新一进入普林斯顿大学就学本科，三年后，进入研究生院，师从著名的德国数学家法尔廷斯；1992 年获得普林斯顿大学数学博士学位，博士论文《The geometry of the compactification of the Hurwitz scheme 》，同年，回到日本担任京都大学数理解析所助理教授，并于几个月后开始访问哈佛大学，并在哈佛大学进行了长达 2 年的访问研究，于 1994 年回到京都大学，此后，便很少离开日本，并于 1996 年，证明了一个猜想（Formulation of a conjecture of Grothendieck on curves），之后 3 年里，都有重要论文发表分别是：1997 年 《A Version of the Grothendieck Conjecture for p-adic Local Fields》，1998 年《TheIntrinsi HodgeTheory ofp-Adi Hyperboli Curves》 1999 年《Foundations of P-adic Teichmüller Theory》，可以看出 1998 年的研究重心在霍奇理论，1999 年已经开始构建他的宇宙际几何；此外，望月新一也出席了 1998 年的国际数学家大会，并做 45 分钟报告；1999 年之后，便很少在国际数学界活动，也鲜有文章发表。直到 2012 年 8 月，将 500 页的论文挂在自己的主页上，并声称证明了 ABC 猜想。


图 2 望月新一

2012 年轰动数学界的论文出来后，许多数学家认为，新的框架太过晦涩难懂，有一些人抱怨，有一些人放弃，有一些人质疑，但是望月新一依然坚称自己理论的正确，并拒绝离开日本去讲解自己的理论。只有个别的线上讨论会邀请到了他，但国际上依然有数学家对此感兴趣，并研读望月新一的论文，其中，一个 12-18 人组成的数学家圈子，在研究后认为，望月新一的证明是正确的，然而，这个声称又激起了一些浪花，圈子之外的部分数学家宣称，这 12-18 人的小圈子，大多数是望月新一圈子内的数学家，言下之意是他们的验证还不具备权威性；大概这个分歧的认识之后，文章开头提到的数学新星彼得·舒尔策开始了对望月新一论文的研究，并认为其论证存在错误，这时候，大部分数学家寄希望 于 2015 年下半年牛津大学举行的望月新一专题论坛能解决争议。然而，在会上，望月新一的几个紧密合作者解释了证明过程，听众仍然觉得迷雾重重。大概一年后，彼得·舒尔策公开抱怨望月新一不愿在国际数学界同行讲解自己的证明。国际数学界德高望重的森重文是望月新一在京都大学的同事，也是国际数学联盟主席，于是，于 2018 年 3 月邀请彼得·舒尔策和他一起与望月新一一起讨论，讨论望月新一的证明，最终，彼得.舒尔茨邀请了另一位德国的阿贝尔几何数学家，歌德大学的雅各布.斯提克斯，一起前往京都，进行了一个星期的讨论。同年9月，舒尔策和斯提克斯将他们的意见，以论文的形式发表，并公开表达了对其中一个推论的质疑。论文发表后，舒尔策接受了采访，并称“我完全无法认同 IUT 理论第三部分的推论”；


图 3 论文的摘要

该论文认为，望月新一对 abc 猜想的证明方法是将这个问题转化为一个椭圆曲线问题，这个变换很早之前就存在了，而且很简单。变换后，每个 abc 等式都对应于一条椭圆曲线，在 a 和 b 这 2 个位置和坐标原点处穿过 x 轴，将数论和几何、微积分和其他领域联系起来。该变换也是 1994 年安德鲁·怀尔斯证明费马大定理的核心工具。abc 猜想至此变成证明 1 个与该椭圆曲线有关的特定不等式。望月新一将这个不等式转换成另外的形式。这种变换相当于比较 2 个集合中的元素个数。望月新一在推论 3.12 中对这个新的不等式进行了证明。如果这个证明成立，则 abc 猜想就得以证明。但证明需要比较 2 个实数集合，这 2 个集合被变换为 6 个不同的实数集合中的部分元素组成的环的一部分。此外，还需要证明每个在环上的集合与自己的相邻集合是什么关系，为了做到这一点，就必须理解不同集合的测度之间的关系。舒尔茨和斯提克斯认为证明就是在这里出了问题。他们认为，在望月新一的工作中，各种测度标准彼此相容。但是当沿着环进行遍历时，斯提克斯表示，你最终会遇到一个测度标准，这个标准看上去跟其他的测度标准都不同。这种情况类似于著名的爱舍尔楼梯——你不停地向上爬，到了最后你发现你回到了原点。

文章发表 2 周后，望月新一针对舒尔策和斯提克斯所质疑的问题，做了简短的回复，内容大概，他们没有认真读懂 IUT 理论，并且认为他们的水平只有京都大学数学系研究生的水平；至此，对望月新一的质疑，数学界仍然分裂为两派。

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