数学之美

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数学之美

原创 刘林 gh_88b09d51d0e3 2024 年 10 月 03 日 20:46 浙江

数学是上帝书写宇宙的字母表和写给人类的这个世界的使用说明书。数学，是如此的简洁优美，又是如此的清晰明了，是理性领域至高的美。如果你能读懂他它，它的美将深深地震撼你。

毕达哥拉斯定理



毕达哥拉斯定理可以通过一个简单的几何图形来解释：考虑一个直角三角形，我们可以在它的每一边构建一个正方形。那么，与较短两边相邻的两个正方形的面积之和等于与斜边相邻的正方形的面积。

这个定理表述了直角三角形三边之间的关系，其中 a 和 b 是直角边，c 是斜边。在解决与距离和几何相关的问题时，它是至关重要的。

a、b、c 三个字母，表达了一个完美的三角关系，在我们的数学世界里存在着无穷无尽的毕达哥拉斯数，最为我们熟知的就是 3、4、5 。

圆周长、圆面积公式



英国巴斯大学的克里斯-巴德（Chris Budd）说：“学生们认为，如果这个公式不能让他们完全震惊，那么他们就根本没有灵魂。”

许多读者会听说过这个著名的方程式。它简单地描述了圆的周长是如何随直径变化的。两者的比率是一个叫做 π 的数字。它大约是 3.14 ，但并不准确： π 是一个无理数，意味着数字永远不会重复。



“圆周率是一个非常重要的数字，我们必须以非常高的精度来计算它，以使全球定位系统等现代技术能够工作……它可以用来描述世界的几何形状。”

万有引力公式



万有引力存在于一切事物之间，无论是月亮、太阳、星星，还是苹果、石头、人，都以同样的数学规律互相吸引：“引力的强度与两者的质量成正比，与它们质心距离的平方成反比”，无论过去还是现在，无论它们是在天上还是地下！

在牛顿之前，人类认为这一切都掌控在神的手中；而牛顿之后，人类才知道，天和地以万有引力为法则，在牛顿发现的定律中运转。宇宙和万物找到了统一规律，物理学达到第一次真正的统一。



质能方程


E 为能量，m 为质量，c 为真空中光的速度

质能方程是爱因斯坦在狭义相对论中提出的，狭义相对论考虑的是在没有重力作用下，物体以接近光速的速度运动的物理法则。这个方程表明，质量本身就是一种能量的形式，并且质量和能量可以互相转化。

这一原理在核反应和粒子物理的实验中得到了验证。在粒子物理学中，质能方程用来描述粒子衰变和碰撞过程中的能量和质量的转换。在宇宙学中，质能方程与星体（如黑洞和中子星）的演化和宇宙的大爆炸理论等密切相关。在放射性同位素的应用中，例如癌症治疗中的放射治疗，能量的释放和转化遵循。

这个物理学方程同样展示了数学与现实世界的强烈联系，这个方程说明了质量和能量之间的关系。

欧拉多面体公式


莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707～1783）的纪念邮票，印有多面体欧拉公式

这个公式被称为第二优美的数学公式，它表示多面体的顶点数、棱数和面数存在一个简明的数量关系。欧拉对这个公式，有一个本质性的认识，那就是他引入了“棱”这个概念。他在 0 维对象（顶点）、1 维对象（棱）和 2 维对象（面）之间建立起了联系。



正因为这一深刻发现，才使得欧拉多面体公式能继续推演，庞加莱等人将欧拉的公式推广到了任意维的对象上，最终成了拓扑学的重要定理。

欧拉恒等式



欧拉恒等式的简洁性和深刻性使其成为数学的一个象征，并在多个科学领域内找到了广泛的应用。

这个公式被许多数学家认为是最美的数学公式之一，通常被称为欧拉恒等式（Euler's identity）。这个等式以瑞士数学家和物理学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的名字命名，它将五个最基本的数学常数 0、1、e、i 和 π ——用一个惊人的简单的等式联系在一起。（1 ——所有数的基础；0 ——无的概念；π ——定义圆的常数；e ——指数增长的基础，自然对数；i ——虚数单位，-1 的平方根）

之所以说她美，是因为这个公式的精简。她没有多余的字符，却联系着几乎所有的数学知识。

1、自然对数的底“e”含于其中。自然对数的底，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺线，谁能够离开它？

2、最重要的常数 π 含于其中。世界上最完美的平面对称图形是圆。“最伟大的公式”能够离开圆周率吗？（还有 π 和 e 是两个最重要的无理数！）

3、最重要的运算符号 + 含于其中。之所以说加号是最重要的符号，是因为其余符号都是由加号派生而来。减号是加法的逆逆运算，乘法是累计的加法……

4、最重要的关系符号 = 含于其中。从你一开始学算术，最先遇见它，相信你也会同意这句话。

5、最重要的两个元在里面。零元 0 ，单位 1 ，是构造群、环、域的基本元素。如果你看了有关《近世代数》的书，你就会体会到它的重要性。

6、最重要的虚单位 i 也在其中。虚单位 i 使数轴上的问题扩展到了平面，而在哈密尔顿的 4 元数与凯莱的 8 元数中也离开不了它。

菲波拉契数列



黄金螺线，也称斐波那契螺旋线，是根据斐波那契数列画出来的螺旋线。它是这样做出来的：在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形（即黄金矩形）中画一个 90 度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。自然界中存在许多斐波那契螺旋线的结构，满足最完美的黄金比例，这是大自然的精妙设计。



斐波那契数列最初由中世纪意大利的数学家列昂纳多·斐波那契（1175-1250）在研究兔子下兔崽子的问题时发现的现象和规律。斐波那契数列的每一项数字都是前两项数字的和。这个简单的规则却能产生出极其丰富和多样化的模式。更令人惊奇的是，斐波那契数列在自然界中无处不在，从植物的叶序、动物的繁殖模式，到银河系的旋臂结构，都能找到它的身影。



斐波那契数列是数学与自然界的奇妙连接，被称为“大自然的密码”和“大自然的普遍法则”。它告诉我们，即使是最简洁的数学规则，也能孕育出无穷的可能性。



如果取斐波那契数列中相邻两个数的比值，那么就会发现：随着项数的不断增加，前一项与后一项比值会越来越接近黄金分割比。具体来说，当我们在斐波那契数列中取较大的两个连续的数字并计算它们的比值时，这个比值会趋近于黄金分割比。例如，21/34 ≈ 0.6176 ，89/144 ≈ 0.6181 ，这已经非常接近黄金分割比了。因此，斐波那契数列也被称为黄金分割数列。



修改于 2024 年 10 月 03 日