广义梅森数的整数解

yangchuanju

广义梅森数(b^x-1)/(b-1)模p的整数解
2^3-1=7是第二个梅森素数，哪些广义梅森数(b^3-1)/(b-1)之中含有素因子3呢？哪些广义梅森数(b^x-1)/(b-1)之中含有素因子p呢？
这就是求不定方程((b^3-1)/(b-1))/7=t的整数解问题，方程中底数b、指数x、模数p、商数t都是正整数，其中b≠1，x≠1；x，p一般只取奇素数。

((b^3-1)/(b-1))/7=t，在1-7范围内有2组整数解，b=2,4；
{b=2+7n,t=1+5n+7n^2},{b=4+7n,t=3+9n+7n^2}
更多的——b=9,11,16,18,23,25,30,32,……2+7k,4+7k。

(b^3-1)/(b-1)=b^2+b+1分解式                               
status         b        digits        number       
P        2        1        7 = 7       
P        3        2        13 = 13       
FF        4        2        21 = 3 · 7       
P        5        2        31 = 31       
P        6        2        43 = 43       
FF        7        2        57 = 3 · 19       
P        8        2        73 = 73       
FF        9        2        91 = 7 · 13       
FF        10        3        111 = 3 · 37       
FF        11        3        133 = 7 · 19       
P        12        3        157 = 157       
FF        13        3        183 = 3 · 61       
P        14        3        211 = 211       
P        15        3        241 = 241       
FF        16        3        273 = 3 · 7 · 13       
P        17        3        307 = 307       
FF        18        3        (7)^3 = (7)^3       
FF        19        3        381 = 3 · 127       
P        20        3        421 = 421       
P        21        3        463 = 463       
FF        22        3        507 = 3 · 13^2       
FF        23        3        553 = 7 · 79       
P        24        3        601 = 601       
FF        25        3        651 = 3 · 7 · 31       

yangchuanju

((b^5-1)/(b-1))/31=t，在1-31范围内4组，b=2，4，8，16；
{b=2+31n，t=1+49n+961n^2+8649n^3+29791n^4}，
{b=4+31n，t=11+313n+3379n^2+16337n^3+29791n^4}，
{b=8+31n，t=151+2257n+12679n^2+31713n^3+29791n^4}，
{b=16+31n，t=2255+17185n+49135n^2+62465n^3+29791n^4}

((b^7-1)/(b-1))/127=t，在1-127范围内6组，b=2，4，8，16，32，64；
{b=2+127n，t=1+321n+44577n^2+3370961n^3+145435193n^4+3381880333n^5+33038369407n^6}，
{b=4+127n，t=43+7737n+582803n^2+23499953n^3+534627963n^4+6503616025n^5+33038369407n^6}，
{b=8+127n，t=2359+219345n+8505063n^2+176015777n^3+2050431383n^4+12747087409n^5+33038369407n^6}，
{b=16+127n，t=140911+6636321n+130249295n^2+1363626305n^3+8031709743n^4+25234030177n^5+33038369407n^6}，
{b=32+127n，t=8727391+206703681n+2039945247n^2+10737543041n^3+31792952543n^4+50207915713n^5+33038369407n^6}，
{b=64+127n，t=549687103+6527398017n+32296665023n^2+85227200513n^3+126510182463n^4+100155686785n^5+33038369407n^6}

yangchuanju

((b^5-1)/(b-1))/31=t，在1-31范围内4组，b=2，4，8，16；
{b=2+31n，t=1+49n+961n^2+8649n^3+29791n^4}，
{b=4+31n，t=11+313n+3379n^2+16337n^3+29791n^4}，
{b=8+31n，t=151+2257n+12679n^2+31713n^3+29791n^4}，
{b=16+31n，t=2255+17185n+49135n^2+62465n^3+29791n^4}

((b^7-1)/(b-1))/127=t，在1-127范围内6组，b=2，4，8，16，32，64；
{b=2+127n，t=1+321n+44577n^2+3370961n^3+145435193n^4+3381880333n^5+33038369407n^6}，
{b=4+127n，t=43+7737n+582803n^2+23499953n^3+534627963n^4+6503616025n^5+33038369407n^6}，
{b=8+127n，t=2359+219345n+8505063n^2+176015777n^3+2050431383n^4+12747087409n^5+33038369407n^6}，
{b=16+127n，t=140911+6636321n+130249295n^2+1363626305n^3+8031709743n^4+25234030177n^5+33038369407n^6}，
{b=32+127n，t=8727391+206703681n+2039945247n^2+10737543041n^3+31792952543n^4+50207915713n^5+33038369407n^6}，
{b=64+127n，t=549687103+6527398017n+32296665023n^2+85227200513n^3+126510182463n^4+100155686785n^5+33038369407n^6}

yangchuanju

((b^5-1)/(b-1))/31=t，在1-31范围内4组，b=2，4，8，16；
{b=2+31n，t=1+49n+961n^2+8649n^3+29791n^4}，
{b=4+31n，t=11+313n+3379n^2+16337n^3+29791n^4}，
{b=8+31n，t=151+2257n+12679n^2+31713n^3+29791n^4}，
{b=16+31n，t=2255+17185n+49135n^2+62465n^3+29791n^4}

((b^7-1)/(b-1))/127=t，在1-127范围内6组，b=2，4，8，16，32，64；
{b=2+127n，t=1+321n+44577n^2+3370961n^3+145435193n^4+3381880333n^5+33038369407n^6}，
{b=4+127n，t=43+7737n+582803n^2+23499953n^3+534627963n^4+6503616025n^5+33038369407n^6}，
{b=8+127n，t=2359+219345n+8505063n^2+176015777n^3+2050431383n^4+12747087409n^5+33038369407n^6}，
{b=16+127n，t=140911+6636321n+130249295n^2+1363626305n^3+8031709743n^4+25234030177n^5+33038369407n^6}，
{b=32+127n，t=8727391+206703681n+2039945247n^2+10737543041n^3+31792952543n^4+50207915713n^5+33038369407n^6}，
{b=64+127n，t=549687103+6527398017n+32296665023n^2+85227200513n^3+126510182463n^4+100155686785n^5+33038369407n^6}

yangchuanju

((b^11-1)/(b-1))/23=t，((b^11-1)/(b-1))/89=t，在1-23或1-89范围内各10组，
((b^11-1)/(b-1))/23=t，b=2,3,4,6,8,9,12,13,16,18；
{b=2+23n，t=89+9217n+435689n^2+12324113n^3+230479481n^4+2973310625n^5+26768750537n^6+165948231569n^7+677560263953n^8+1644530690901n^9+1801152661463n^10}，
{b=3+23n，t=3851+280483n+9223943n^2+180263098n^3+2317497158n^4+20473727242n^5+125843378336n^6+531300805621n^7+1474289418551n^8+2427640543711n^9+1801152661463n^10}，
{b=4+23n，t=60787+3378745n+84633675n^2+1257911745n^3+12283864035n^4+82342934409n^5+383689715259n^6+1227069483921n^7+2577452863379n^8+3210750396521n^9+1801152661463n^10}，
{b=6+23n，t=3154757+118513705n+2004494045n^2+20100383905n^3+132333000629n^4+597666777817n^5+1875260714765n^6+4036198513585n^7+5703082623725n^8+4776970102141n^9+1801152661463n^10}，
{b=8+23n，t=53353631+1512003793n+19287048383n^2+145828169393n^3+723749724383n^4+2463635372177n^5+5824999832831n^6+9446022041201n^7+10054449544991n^8+6343189807761n^9+1801152661463n^10}，
{b=9+23n，t=170549237+4303999495n+48886866275n^2+329116889770n^3+1454307274610n^4+4407387731374n^5+9277203200654n^6+13392658841941n^7+12689784440969n^8+7126299660571n^9+1801152661463n^10}，
{b=12+23n，t=2936791979+55776799177n+476750524019n^2+2415062752993n^3+8029291572731n^4+18306712695865n^5+28988188257347n^6+31478499472849n^7+22434394870283n^8+9475629219001n^9+1801152661463n^10}，
{b=13+23n，t=6493334761+113924725903n+899535250923n^2+4209312100938n^3+12927334980858n^4+27226061662062n^5+39822825555426n^6+39944375892981n^7+26295466927181n^8+10258739071811n^9+1801152661463n^10}，
{b=16+23n，t=50991843607+728121033505n+4678890286695n^2+17818116255825n^3+44532080657079n^4+76322025727617n^5+90841933649415n^6+74145995543985n^7+39717288839255n^8+12608068630241n^9+1801152661463n^10}，
{b=18+23n，t=164369335241+2087920281313n+11935431520313n^2+40433078465233n^3+89892351057833n^4+137046985432897n^5+145101219100121n^6+105349592370961n^7+50197341565121n^8+14174288335861n^9+1801152661463n^10}

((b^11-1)/(b-1))/89=t，b=2，4，8，16，32，39，45，64，67，78；
{b=2+89n，t=23+9217n+1685927n^2+184535537n^3+13354227767n^4+666636310625n^5+23224103248391n^6+557116027167281n^7+8802035644210271n^8+82668364919743701n^9+350356403707485209n^10}，
{b=4+89n，t=15709+3378745n+327495525n^2+18835385505n^3+711740227245n^4+18461841672009n^5+332882535933237n^6+4119477920775729n^7+33483120515915453n^8+161400141033785321n^9+350356403707485209n^10}，
{b=8+89n，t=13788017+1512003793n+74632491569n^2+2183563194257n^3+41934833520881n^4+552363678864977n^5+5053668730355633n^6+31711879194930449n^7+130615131946497137n^8+318863693261868561n^9+350356403707485209n^10}，
{b=16+89n，t=13177667449+728121033505n+18105271109385n^2+266800186885425n^3+2580236407392153n^4+17111913307236417n^5+78812884577538345n^6+248920534297181265n^7+515958521556345785n^8+633790797718035041n^9+350356403707485209n^10}，
{b=32+89n，t=13058643355913+362021926341697n+4516372578400697n^2+33389227584470897n^3+161993560521735017n^4+538936660161878945n^5+1245146804574854681n^6+1972658395566969041n^7+2050962767770784201n^8+1263645006630368001n^9+350356403707485209n^10}，
{b=39+89n，t=93872216831009+2136574727345995n+21883425714166625n^2+132822734067466330n^3+529057013122803170n^4+1445038245851794714n^5+2740925908950684332n^6+3565020246533798389n^7+3042983146807708613n^8+1539206223029513671n^9+350356403707485209n^10}，
{b=45+89n，t=391286593774439+7721191164323791n+68562857540797829n^2+360788318977890826n^3+1245913982772579494n^4+2950322880111935086n^5+4851669657177595934n^6+5470899763015628821n^7+4048538314322664899n^8+1775401551371638531n^9+350356403707485209n^10}，
{b=64+89n，t=13159796021908009+182712931821039745n+1141571901140345625n^2+4226635614843678705n^3+10269681890023009545n^4+17110539147316232289n^5+19797448478859403257n^6+15707217449163854289n^7+8178241128178625513n^8+2523353424455033921n^9+350356403707485209n^10}，
{b=67+89n，t=20791646732204293+275769080165199907n+1645947541441832937n^2+5821619863780184442n^3+13512702818518743642n^4+21507256288771472010n^5+23772042789639599136n^6+18017411125094096661n^7+8961666531848235161n^8+2641451088626096351n^9+350356403707485209n^10}，
{b=78+89n，t=94876771463070707+1081162356927076633n+5544154780571666699n^2+16847555233883201377n^3+33597629642990728931n^4+45943541849777619817n^5+43629345517399160123n^6+28410377314153229329n^7+12140749496129486507n^8+3074475857253325261n^9+350356403707485209n^10}

((b^11-1)/(b-1))/2047=t，在1-2047范围内100组，仅提供最简b值——                                                                       
2        128        312        509        716        929        1113        1278        1545        1812
4        156        331        512        744        968        1135        1291        1577        1819
8        167        334        538        790        995        1159        1313        1580        1825
16        186        358        542        809        1018        1189        1324        1591        1844
32        210        372        579        817        1024        1202        1337        1618        1858
39        223        395        601        840        1043        1221        1343        1641        1871
64        242        420        625        846        1070        1235        1428        1669        1936
78        256        423        627        892        1076        1248        1432        1695        1990
105        269        449        639        906        1084        1250        1488        1784        2003
121        271        453        662        922        1107        1254        1521        1796        2036

yangchuanju

((b^13-1)/(b-1))/8191=t，在1-8191范围内12组，b=2，4，8，16，……4096；
{b=2+8191n，t=1+45057n+939401217n^2+11954336987137n^3+103262941444096513n^4+637258839122518321409n^5+2878848907477256050192129n^6+9587312577381706422080748545n^7+23349870034212236490329290898209n^8+40545484657899681175301062688442321n^9+47633690458285734533472123081487212257n^10+33986721127510318080459073184709212160025n^11+11135409310217480615881610738238126272110591n^12}，
{b=4+8191n，t=2731+65244729n+715104287251n^2+4754376158415025n^3+21353844575919732795n^4+68253523585455453560169n^5+159186934609649747785957155n^6+272949837746048400851437161057n^7+341471131466527650006948228383947n^8+303959427962595261024833204092615321n^9+182734122629172800422832081925844671411n^10+66613973409920223437699783442030055833649n^11+11135409310217480615881610738238126272110591n^12}，
{b=8+8191n，t=9588151+116402378961n+647805734984295n^2+2185323437353212577n^3+4976912241629172839959n^4+8061372745473288231572849n^5+9522478432579628374178058439n^6+8265337087827226619132723124545n^7+5231897200812297086760398852954743n^8+2355346167975470684406881972997113361n^9+715833125249429871229495703311687618343n^10+131868477974740034152181203956671743180897n^11+11135409310217480615881610738238126272110591n^12}，
{b=16+8191n，t=36654862063+223928981472033n+627027346144524751n^2+1064129494969369233985n^3+1219050715312617076170927n^4+993120194839048803432076641n^5+589961552794045091611166065551n^6+257493844683413152320634481599617n^7+81950461729645829358008575193342575n^8+18547603889025342358972891575989630881n^9+2833623683603875768954597760871885626703n^10+262377487104379655581144044985955117875393n^11+11135409310217480615881610738238126272110591n^12}，
{b=32+8191n，t=145295143558111+445092485129178177n+624934639100933638047n^2+531788191933485209479297n^3+305457102465816217183232863n^4+124767902923245556993091163329n^5+37160876469641072852380097326879n^6+8131656670488777180604375634792705n^7+1297485434190813302792897435782458079n^8+147220046914503039203872352009100057921n^9+11275575012768494588851901135146330101407n^10+523395505363658898439069727044521867264385n^11+11135409310217480615881610738238126272110591n^12}，
{b=64+8191n，t=585682417410625471+898308565020554834049n+631496922614859933138751n^2+269050553199476224522477825n^3+77375097049295873773035810495n^4+15823657682543720647125196919169n^5+2359610095839541571364034638700095n^6+258512124534113820480037740871778817n^7+20651389394817696145732368685749898687n^8+1173156568253222008353219381514952929921n^9+44984958520920640326434904920311412882751n^10+1045431541882217384154921091161655366042369n^11+11135409310217480615881610738238126272110591n^12}，
{b=128+8191n，t=2380065770834284748671+1826468124023143637500161n+642416816012951569078066815n^2+136942414426898907334734660097n^3+19704392688621232669581124607359n^4+2016163796014558506547085693993729n^5+150423467792459947475507991074675839n^6+8245405545786577441813904808978433025n^7+329560741577167411949310341067032599423n^8+9366915551715728340301932624934230344961n^9+179705648936516564192754500637106353773183n^10+2089503614919334355586623819395922363598337n^11+11135409310217480615881610738238126272110591n^12}，
{b=256+8191n，t=9710519007543750995926783+3727165692135864801209549313n+655686822041383737770265681151n^2+69908554350468828543393783727105n^3+5031158680723255219204141582736127n^4+257479838405569611624594934288647681n^5+9608272296698353154576783128815507711n^6+263423097544829859856179171734822537217n^7+5266101961557326927485332736107623995135n^8+74862132478853127313294049848195420654081n^9+718354723364874941490008044656555336865023n^10+4177647760993568298450029275864456358710273n^11+11135409310217480615881610738238126272110591n^12}，
{b=512+8191n，t=39696449679057914051763625471+7619545162893119518949182800897n+670328810495205698823889600649727n^2+35740678518186591403065716616185857n^3+1286297682151317418065436288225662463n^4+32919835713479479944438075032836738049n^5+614328483467253375555924145588329812479n^6+8422675695334145592522757270290557784065n^7+84202759940305764004988738527291698367999n^8+598604603750554372371613959230747133547521n^9+2872483646610257814342972543038889708292607n^10+8353936053142036184176840188801524348934145n^11+11135409310217480615881610738238126272110591n^12}，
{b=1024+8191n，t=162437716870870462079233952832511+15590847122497171449519537122183169n+685857664516785673714765134280266751n^2+18285815718213114864809592528580890625n^3+329077703101537278982489376714250013695n^4+4211337465398053455462152326358150125569n^5+39297818359410348703282118965268309902335n^6+269415924413895566741651218592342407602177n^7+1346805538147688011120269476577513072278527n^8+4787667628576277865945251773662678211307521n^9+11488064590655688033082731181177304072123391n^10+16706512637438971955630462014675660329381889n^11+11135409310217480615881610738238126272110591n^12}，
{b=2048+8191n，t=665019854161266611791013916004308991+31915757056238527397753650884131164161n+702032364462302190922321881781174798335n^2+9358907915541390769563001633061740732417n^3+84216461141195736911559042535953398773759n^4+538897622009493041744385967321882231287809n^5+2514446237565476084487880317401126525757439n^6+8619555350743178591254775982556926833557505n^7+21545381044865820068809455652073147719522303n^8+38296665468257930586981761752575533557698561n^9+45948518868965206362697567022949115283687423n^10+33411665806032843498537705666423932290277377n^11+11135409310217480615881610738238126272110591n^12}，
{b=4096+8191n，t=2723256140392375991092111194581255573503+65348839202672563882033908363764013473793n+718734856329125496488261298074597927677951n^2+4790883309070146976564644555080606127489025n^3+21555904539640233260977380354202071289827327n^4+68969070836096283994536960880054203068702721n^5+160904913348986588567702608386408393666998271n^6+275797711011022546725183931169483484718678017n^7+344698041798681568857700816889895348250628095n^8+306354623994949432725101658049650677677793281n^9+183786596986458874590468512968472667642425343n^10+66821972143220586584352192969920476212068353n^11+11135409310217480615881610738238126272110591n^12}

((b^17-1)/(b-1))/131071=t，在1-131071范围内16组，b=2,4,8,16，……65536；
((b^19-1)/(b-1))/524287=t，在1-524287范围内18组，b=2,4,8,16，……262144；

yangchuanju

((b^15-1)/(b-1))/217=t，28组=2*14，                               
1        b=2，                15        b=107，
2        b=4，                16        b=109，
3        b=9，                17        b=121，
4        b=16，                18        b=128，
5        b=18，                19        b=142，
6        b=25，                20        b=144，
7        b=39，                21        b=149，
8        b=51，                22        b=163，
9        b=67，                23        b=165，
10        b=72，                24        b=191，
11        b=81，                25        b=193，
12        b=95，                26        b=200，
13        b=100，                27        b=205，
14        b=102，                28        b=214
                               
((b^15-1)/(b-1))/7=t，2组，                               
1        b=2，                2        b=4
                               
((b^15-1)/(b-1))/31=t，14组，                               
1        b=2，                8        b=14，
2        b=4，                9        b=16，
3        b=5，                10        b=18，
4        b=7，                11        b=19，
5        b=8，                12        b=20，
6        b=9，                13        b=25，
7        b=10，                14        b=28

yangchuanju

((b^21-1)/(b-1))/889=t，60组=3*20，                                       
1        b=2，        21        b=330，        41        b=667，
2        b=4，        22        b=354，        42        b=673，
3        b=8，        23        b=361，        43        b=708，
4        b=16，        24        b=389，        44        b=711，
5        b=25，        25        b=400，        45        b=722，
6        b=32，        26        b=428，        46        b=729，
7        b=50，        27        b=431，        47        b=757，
8        b=64，        28        b=442，        48        b=764，
9        b=100，        29        b=445，        49        b=778，
10        b=107，        30        b=457，        50        b=781，
11        b=135，        31        b=498，        51        b=800，
12        b=165，        32        b=512，        52        b=809，
13        b=177，        33        b=527，        53        b=823，
14        b=191，        34        b=533，        54        b=835，
15        b=200，        35        b=540，        55        b=849，
16        b=214，        36        b=555，        56        b=856，
17        b=221，        37        b=569，        57        b=862，
18        b=249，        38        b=625，        58        b=869，
19        b=256，        39        b=639，        59        b=879，
20        b=270，        40        b=660，        60        b=884
                                       
((b^21-1)/(b-1))/7=t，3组                                       
1        b=1，        2        b=2，        3        b=4
                                       
((b^21-1)/(b-1))/127=t，20组                                       
1        b=2，        8        b=38，        15        b=87，
2        b=4，        9        b=47，        16        b=94，
3        b=8，        10        b=50，        17        b=100，
4        b=16，        11        b=61，        18        b=107，
5        b=19，        12        b=64，        19        b=117，
6        b=25，        13        b=73，        20        b=122
7        b=32，        14        b=76，               

yangchuanju

((b^35-1)/(b-1))/3937=t，24组=4*6，                                       
1        b=2，        9        b=512，        17        b=2048，
2        b=4，        10        b=667，        18        b=2302，
3        b=8，        11        b=1151，        19        b=2544，
4        b=16，        12        b=1399，        20        b=2699，
5        b=64，        13        b=1461，        21        b=2798，
6        b=159，        14        b=1659，        22        b=2953，
7        b=256，        15        b=1907，        23        b=3445，
8        b=318，        16        b=1969，        24        b=3691
                                       
((b^35-1)/(b-1))/31=t，4组                                       
1        b=2，        3        b=8，               
2        b=4，        4        b=16               
                                       
((b^35-1)/(b-1))/127=t，6组                                       
1        b=2，        3        b=8，        5        b=32，
2        b=4，        4        b=16，        6        b=64

yangchuanju

        (n^15-1)/(n-1)分解式（含素因子7和31的）                       
序        status (?)        n        digits        number
1        FF        2        5        32767 = 7 · 31 · 151
2        FF        4        9        357913941 = 3 · 7 · 11 · 31 · 151 · 331
3        FF        9        14        25736391511831<14> = 7 · 11^2 · 13 · 31 · 61 · 271 · 4561
4        FF        16        17        76861433640456465<17> = 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 31 · 41 · 61 · 151 · 331 · 1321
5        FF        18        18        396861212733968143<18> = 7^3 · 31 · 41 · 601 · 2711 · 558721
6        FF        25        20        38805107275644938151<20> = 3 · 7 · 11 · 31 · 61 · 71 · 181 · 521 · 1741 · 7621
7        FF        39        23        19327937330819420046121<23> = 7 · 31 · 191 · 223 · 401 · 1741 · 2995328101<10>
8        FF        51        24        821452843215411128017765<24> = 5 · 7 · 31 · 41^2 · 379 · 821 · 1381 · 1048115491<10>
9        FF        67        26        37288774029001394141963637<26> = 3 · 7^2 · 31 · 761 · 1021 · 1171 · 26881 · 334569511
10        FF        72        27        102030284526887192558589577<27> = 7 · 31 · 401 · 751 · 67961 · 22973401023271<14>
11        FF        81        27        529889478440202543928680415<27> = 5 · 7 · 11^2 · 13 · 31 · 61 · 73 · 271 · 1181 · 4561 · 47763361
12        FF        95        28        4928630108082482617642017121<28> = 7 · 31 · 61 · 101 · 431 · 991 · 1201 · 1303 · 5515398991<10>
13        FF        100        29        10101010101010101010101010101<29> = 3 · 7 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
14        FF        102        29        13325429092318114773706002067<29> = 7 · 11 · 19 · 31 · 79 · 1531 · 2341 · 6491 · 12601 · 12686881
15        FF        107        29        26028599440710697208575972957<29> = 7 · 13 · 31 · 127 · 211 · 421 · 627091 · 1304214048451<13>
16        FF        109        29        33726689441551111694045509131<29> = 3 · 7 · 31 · 191 · 571 · 5851 · 24061 · 3374267262211<13>
17        FF        121        30        145411685574053394321323364615<30> = 3 · 5 · 7 · 19 · 31 · 37 · 3221 · 13421 · 7537711 · 195019441
18        FF        128        30        319408025254357014550350413953<30> = 7^2 · 31 · 71 · 151 · 337 · 29191 · 106681 · 122921 · 152041
19        FF        142        31        1364916403383998909358331116987<31> = 3 · 7 · 31 · 61 · 967 · 2281 · 3541 · 6712631 · 655578601
20        FF        144        31        1659974222376012631670981058961<31> = 7 · 19 · 31 · 61 · 157 · 421 · 661 · 9781 · 19141 · 22621 · 35671
21        FF        149        31        2676284696935438193692509726451<31> = 7 · 31 · 103 · 251 · 691 · 2861 · 46741801 · 5162502601<10>
22        FF        163        31        9403706189492015729711097312213<31> = 3 · 7 · 11 · 19 · 31 · 67 · 1301 · 1601 · 495254403438941521<18>
23        FF        165        32        11153606414583796160341030213891<32> = 7^2 · 13 · 31 · 43 · 331 · 4621 · 14551 · 791431 · 745720141
24        FF        191        32        86446399137552460165366853110465<32> = 5 · 7 · 11 · 13^2 · 31 · 811 · 1291 · 1871 · 13001 · 1682829581161<13>
25        FF        193        33        100013449477965184816738633268943<33> = 3 · 7 · 31 · 571 · 1783 · 1394714501<10> · 108194366928301<15>
26        FF        200        33        164663316582914572864321608040201<33> = 7 · 31 · 3361 · 4591 · 5743 · 9241 · 478441 · 1936757041<10>
27        FF        205        33        232636442744167239752167496026731<33> = 3 · 7 · 31 · 61 · 241 · 2011 · 7364141 · 1641404865294331<16>
28        FF        214        33        424450448479624701266880061392771<33> = 3 · 7^2 · 11 · 31 · 313 · 2411 · 3361 · 79451 · 42019013774701<14>