柯尔莫戈洛夫：他到底是一个人，还是一个数学研究机构？

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柯尔莫戈洛夫：他到底是一个人，还是一个数学研究机构？

原创 关注全球科研的 科学方程式 2024 年 10 月 21 日 17:03 北京



20 世纪上半叶的两次世界大战期间，炮火与政治风暴席卷欧洲。莫斯科大学一位青春洋溢的大学生却沉浸于数学世界。在动荡不安的背景下，他决心在复杂性中寻找规律，在随机性中发现秩序。

他就是前苏联的全能数学家----安德列·柯尔莫戈洛夫（Andrei Kolmogorov），其一生充满了随机性与复杂性。1933 年，他的专著《概率论的基础》（Foundations of the Theory of Probability）出版，其中用测度论语言建立的公理化体系彻底革新了概率论的研究方法，被科学界界称为名垂千史之作。

除了概率论，他还将复杂的数学工具应用到物理、经济学、计算机科学等多个实际领域。他对湍流的研究至今仍然影响着气象学与流体力学，为观察物理世界的复杂性提供了前所未有的视角。不夸张的说，在柯尔莫哥洛夫的领导下，构筑起了前苏联的数学王国。

1987 年 10 月 20 日，柯尔莫戈洛夫在莫斯科去世。然而，他的学术影响力和贡献，不是几篇文章所能道尽。本文仅取一些侧面，以了解这位伟大的数学家。

01  初入数学世界的天才少年

1903 年 4 月，柯尔莫戈洛夫诞生于莫斯科东南的小镇坦波夫，母亲在他出生时难产去世。幸运的是，他的外祖父是一位富裕的地主，让他度过了一个幸福的童年。后来，他随姨妈将搬到了莫斯科生活，姨妈是热爱教育的知识分子，她的学识与见解深深影响了柯尔莫戈洛夫的成长，培养了他严谨的学习习惯和开阔的思维方式。柯尔莫戈洛夫从小就博览群书，思维敏锐，展现出与同龄人不同的求知欲和探索精神，六岁就独自琢磨出奇数与平方数的关系。



尽管他的数学天赋从童年时便显露无遗，但他却对俄国历史颇为着迷。1920 年，柯尔莫戈洛考入莫斯科大学，积极参与历史学课程研讨，他撰写了一篇关于 15 世纪诺夫格罗德地区土地所有者的论文（The landholding in the Novgorod in the 15th century），并将数学统计的方法引入到了历史学研究中，但他的老师、著名历史学家巴赫罗欣（Bakhrushin）认可了他的论文却不同意发表，巴赫罗欣对年轻的柯尔莫戈洛夫说：“你的论文只给给出了一种证明，在你所研究的数学领域也许足够，但对历史学家来说，至少需要五种证明。”

这番话让柯尔莫戈洛夫下定决心全身心投入数学领域，因为在那里，一个证明就够了。就这样，历史学界失去了一位天才，而数学界则迎来了一颗巨星。

1922 年 2 月，他发表了集合运算方面的论文，利用集合论和测度论中的概念，处理集合间的运算问题。同年 6 月，柯尔莫戈洛夫取得一个重要成果：构造了一个处处发散的傅里叶级数。这个构造巧妙地展示了傅里叶级数在特定条件下可以有意想不到的行为。而这个级数是他中学假期当列车售票员时想到的。


每个可积函数可以表示为无限个正余弦曲线之和——即傅里叶级数。

此前，数学界普遍认为傅里叶级数会收敛于函数的大多数点上。柯尔莫戈洛夫的这个成果颠覆了数学家们对傅里叶级数一致收敛性的期望，展示了收敛理论中的反例。19 岁的大学生给出了一个不成立的反例，震惊数学界。



随着时间的推移，柯尔莫戈洛夫对数学的兴趣愈发浓厚，每年包揽数学系的奖学金。他的才华也一直吸引着数学大师卢津教授（Nikolai Luzin）的注意。卢津教授十分赏识柯尔莫戈洛夫的才华，1925 年，这位数学新秀成为卢津的研究生。这一年，柯尔莫戈洛夫发表了 8 篇大学时期写的论文，包括三角级数定理以及关于独立随机变量部分和不等式等。

02  穿越随机迷雾的概率大师

概率论起源于 17 世纪的占卜术，但直到 19 世纪初期，欧洲数学家才将其数学化，定义为目标事件数与所有等可能事件数的比值。然而缺陷在于，概率是根据等可能的事件来定义的，因此只适用于有限的系统。当面对无穷大的系统时，比如具有无穷多个面的骰子或连续球面，传统的定义就显得捉襟见肘。



而柯尔莫戈洛夫对此做了革命性的改进。他借助法国数学家提出的测度论（Measure theory），将长度、面积、体积等概念泛化，使得无法被常规方法测量的数学对象也能被测量。例如，一个有无限多个孔的正方形被切割成无穷多份并散落在了无限平面中，借助测度论，这些碎片的 “面积”仍可以被测度出来。


大圈悖论在概率论中称为 Borel-Kolmogorov 悖论，随机变量在以经线和纬线两种条件的分布下得到了不同结果，实际上是测度为 0 的条件概率问题。丨图源:Yarin Gal

另外，柯尔莫戈洛夫还通过概率与测量之间的类比，创建了概率论的公理化体系，这成为代概率论的基石。他提出了五个核心公理，后世通常表述为六个。这些公理彻底改变了概率论的结构与基础。其中，柯尔莫戈洛夫强大数定律的形式为：


这一定律描述了大量随机变量的平均值趋向于期望值的现象。

1929 年，柯尔莫戈洛夫发表了论文《一般测度论和概率论的计算》，对概率论的公理化方法进行了精确的阐述。到 1931 年，年仅 28 岁的柯尔莫戈洛夫被莫斯科大学聘为大学教授，来指导研究生课程。

1933 年，德文版《概率论基础》（Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung）一经面世，就引起了全世界的广泛关注，柯尔莫戈洛夫运用娴熟的实变函数理论，建立了集合测度与事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数的正交性与随机变量独立性的类比等，这种广泛的类比赋予概率论以演绎数学的特征，许多在直线上的积分定理都可移植到概率空间。

这一划时代的著作改变了概率论的基础，获得全世界数学家的认可，成为了现代数学中不可或缺的部分，甚至成为许多数学家的入门圣经和工作的标准参考。

概率空间需要规定：随机事件取自于怎样的空间；如何分配不同随机事件的发生概率，即定义概率测度。如探讨赌博问题，随机事件就是赌博可能的一切结果；而天气问题，随机事件就是可能出现的天气状况。故对不同的问题，“概率空间”是不一样的。同时，要预先给定一个概率测度来刻画所讨论的问题，就是预先给定随机事件发生的可能性。

随后，柯尔莫戈洛夫还发表了 80 余篇有关射影几何、数理统计、实变函数论、拓扑学、逼近论、微分方程、数理逻辑、生物数学、哲学、数学史与数学方法论等领域的论文。并于 1939 年获选为苏联科学院院士。

03  引领数学发展的全能舵手

在历史长河中，学术与政治往往紧密交织，尤其是像柯尔莫戈洛夫这样具有影响力的学者，他们的学术生活无法与当时的环境脱钩。二战期间，柯尔莫戈洛夫被要求研究提高炮火效率的数学方法。他发现，在某些情况下，与其试图提高每颗炮弹的命中率，不如对目标区域进行连续猛击。这一策略被称为“人工散布（artificial dispersion）”。莫斯科大学的概率论系在柯尔莫戈洛夫的指导下还计算了低空、低速轰炸的弹道表。因此，苏联于 1944 年和 1945 年授予了柯尔莫戈洛夫两枚列宁勋章。二战后，他担任了热核武器计划的数学顾问。



柯尔莫戈洛夫的影响远不止于此。1954 年，他发表的两篇动力系统及其在哈密尔顿动力学中应用的论文，提出了 KAM 理论（Kolmogorov-Arnold-Moser）的初步框架。这一理论主要研究在几何动力系统中如何保持某些轨道的稳定性，后来成为了非线性系统分析中的基础。

柯尔莫戈洛夫-阿诺德叠加（Kolmogorov-Arnold representation）公式为：


在实际应用中，科尔莫戈洛夫-阿诺德叠加定理通过启发 KANs 等新型神经网络架构的设计，为机器学习和神经网络的发展提供了新的方向和可能性。

1965 年，柯尔莫戈洛夫还把复杂性测度引入随机性算法理论，确立了复杂性概念，即现在提及的柯尔莫哥洛夫复杂性（Kolmogorov Complexity），为计算机科学中的算法信息论、人工智能等领域提供了理论基础。

实际上，柯尔莫哥洛夫在数学领域的成就纷繁庞杂，其研究遍及概率论、函数论、泛函分析、拓扑学、随机过程、经典力学、湍流、气象学、弹道系统、金属结晶等多个方面。因此，科学界也将他视为二十世纪“俄罗斯的庞加莱”。

结语：引领前沿，遗泽后世

1987 年，柯尔莫戈洛夫于莫斯科去世，享年 84 岁。他一生经历过俄国革命、两次世界大战和冷战，学术成就几乎覆盖了数学的一切领域；他培养了 70 多位博士和 14 名苏联科学院的院士，为前苏联数学领域的发展构筑了广度与深度。

在半个多世纪的漫长学术生涯里，柯尔莫戈洛夫始终站在前沿，不断构建新思想、创造新方法，推动数学向新方向前进。1963 年，美国统计学家沃尔夫·维茨惊叹：“我想知道，柯尔莫戈洛夫到底是一个人呢，还是一个研究机构？”

苏俄数学历史悠久，对数学人才的培养和支持更是享誉世界。苏联时期的数学教育体系以培养基础理论和创新能力为目标，为诸多顶尖数学家提供了土壤。如今，秉承柯尔莫哥洛夫的遗泽，俄罗斯依然高度重视数学的研究与应用，继续为世界输送顶尖的数学人才，这不仅成就了俄罗斯在全球数学领域的独特地位，也推动着全球数学的发展。



参考资料：

https://www.resolvedanalytics.co ... orov-fluid-dynamics

https://russkiymir.ru/en/publications/312814/

https://www.math.hkust.edu.hk/~makchen/MATH5411/Chap1Sec6.pdf

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