用例子来解释虚数出现的必然性

luyuanhong

用例子来解释虚数出现的必然性

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 10 月 28 日 18:01 陕西

如果你在 16 世纪中叶偶然在博洛尼亚或米兰散步，你可能会偶遇一场决斗。当然别害怕，这里的决斗不是用手枪或剑进行的那种决斗，不是那种既分高下，也决生死的为爱冲锋，而是一种完全不同的决斗：智力的决斗。当时，数学家们经常在公开竞赛中挑战对方解决问题，来证明他们有多聪明。



那个年代的数学家经常会争论的一个问题是寻找低次多项式的解，通常是形式为 ax^3+bx^2+cx+d=0 三次多项式，其中 a、b、c、d 通常是整数。就像选择正确的武器一样，许多数学家会准备好自己的（秘密的）通用方法，这些方法可以用于某些此类方程，当然数学家会希望其中一个方程会在比赛中出现。卡尔达诺在此期间开发了一种用于求解没有二次方项的通用公式，即方程 x^3+px+q=0 的求解公式为：



称这个公式为卡尔达诺公式有点不公平，因为它实际上是由博洛尼亚大学教授西皮奥内·德尔·费罗发现的。但卡尔达诺是第一个意识到，只要利用一个简单的替换就可以可以用来寻找任何三次方程的解，而不仅仅是上面的缺少二次项的方程。



为了说明这一点，我们取一个形式为 ax^3+bx^2+cx+d=0 的一般三次方程，我们可以安全地除以 a ，因为 a 显然非零，否则这个方程只是一个二次方程了。因此，我们可以说，三次方程的一般形式实际上是 x^3+ax^2+bx+c=0 。现在我们定义一个新的变量 y=x+a/3 ，这样 x=y-a/3 。将其代入我们的方程并进行相关展开，可得出 y^3+py+q=0 ，其中



所以现在我们从任何一般三次方程计算 p 和 q ，并使用卡尔达诺公式来寻找解决方案。

当卡尔达诺公布这个公式时，它在当时的意大利科学界引起了轩然大波，因为最初的公式不是他的，而是秘密告诉他的。这段丑闻也是当时科学界的一段秘辛。但是一些学者随着研究的发现，他们发现卡尔达诺公式在某些情况下效果很好，但在其他情况下却会产生令人难以理解的结果。

首先，我们来看一个卡尔达诺公式适用的案例。我们以一个简单的三次方程为例，如 x^3+6x-2=0 ，因此 p=6 和 q=-2 。使用卡尔达诺公式，我们得到一个解：



但卡尔达诺公式中得出如此简洁的结果其实相当罕见，这导致当时它的实用性受到质疑。例如，让我们尝试求解 x^3+3x-36=0 。如果我们代入 x=3 ，我们很容易看出它一定是一个根。但如果我们在公式中放入 p=3 和 q=-36 ，我们得到：



这实际上看起来并不像应该等于 3 。但是，请注意以下几点：



并按照同样的步骤对共轭进行计算，结果显示：



显然这个公式是有效的，但往往会给出一个从计算上非常难以理解的答案，需要做更多的工作才能揭示其背后的真相。

虚数的偶然出现

让我们看看另一个让意大利人困惑的卡尔达诺公式的例子。可以看出，三次方程 x^3-15x-4=0 有一个根 x=4 。但是当我们使用卡尔达诺公式时，我们得到 x 的以下表达式：



这确实让人们困惑不已。当时，人们还没有关于如何处理负数平方根的概念，这导致许多人认为卡尔达诺公式毫无用处。但博洛尼亚代数学家拉斐尔·邦贝利 (Rafael Bombelli) 提出了一个有趣的观察。他建议，如果我们忽略负平方根的含义，将它们当作平方等于负数的抽象对象来处理，我们仍然可以进行导致正确答案的操作。请注意以下几点：



利用类似的共轭展开式，我们可以得出结论



因此，邦贝利观察到，如果我们放弃对负数平方根存在的反对意见，并允许它们作为代数对象存在，我们就拥有了一种技术，可以揭示原本无法获得的真理。

当然，所有这些技术在接下来的几个世纪里都有待开发，但实际上，邦贝利已经向世界介绍了虚数 i = √-1 。



围城里的猫

denglongshan

高中教材主编为什么犯基本概念错误
没有讨论出结果。

denglongshan

denglongshan 发表于 2024-12-9 22:37
高中教材主编为什么犯基本概念错误
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