为什么要在乎代数拓扑

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为什么要在乎代数拓扑

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 10 月 29 日 18:01 陕西

在数学中了解两种形状是否“相同”或“不相同”通常很重要。在一般的拓扑学中你可能已经听过杯子和甜甜圈是“相同的”，因为它们可以连续地从一个形状变形为另一个形状，然后再变形回来：



你可能会说，这些形状非常不同，但我们还是希望计算机程序能够将它们区分开来。然而，有时候，你确实希望程序将看似非常不同的形状视为“相同”。例如，你可能希望程序能够确认，这两个迷宫实际上是“相同的”。





相反，有时候你可能希望看起来相似的形状被视为不同的。举例来说，考虑下面的 4 个签名。左上角的签名是真的。其他 3 个签名中哪些是真的（即同一作者）哪些是伪造的（不同作者）？换句话说，哪些与左上角的“相同”？哪些与左上角的“不同”？



事实上，(a) 列中的签名是“相同的”，而 (b) 列中的签名与 (a) 列中的签名不同，而且由于作者不同，因此彼此也不同。因此基本上，关于两件事是否相同的答案是：“视情况而定”。

现在，代数拓扑，或者至少从中衍生的一些计算算法，可以帮助您以你想要的方式回答这些问题。“怎么办？”我听到你问的了。

正如前面提到的，在点集拓扑中，如果两件事物可以连续地相互变形并再次变形，那么它们就是“相同的”。而在高中数学中，我们学习了函数、坐标系等，所以做分析是我们自然而然要做的事情。

例如区间 [0,1] 与区间 [2,3] 是“相同的”，因为可以找到一对互为逆的连续函数，将 [0,1] 的每个点映射到 [2,3] 中，反之亦然。f(x)=x+2 及其逆 g(x)=x-2 就可以了！

现在考虑下面的球面和轮胎面：



它们是“内部是空的”，也就是说，它们只是 3D 表面。球体的一个参数化可能是：



轮胎或者圆环的参数化表达式是：



其中 R、r 和 ρ 是常数。现在，是否存在一对互为逆的连续函数，它们从球面映射到轮胎面并再映射回来？

实际上，从分析上证明不存在这样的连续函数并不是那么容易（试试看！），而且，对于更复杂的形状，情况很快就会变得更糟。也许分析学的方式，即像我们以前所做的那样寻找函数，并不是正确的前进方式。

我们需要以一种不同的观点来看待这样的问题，考虑这些表面上的“环路”(闭合路径)。在球面上，每一个环路都可以连续收缩回到一个点：



而在轮胎上，有些环由于中间有一个洞，所以无法收缩到一点，就像这样：



代数拓扑的基本思想就是通过将曲面转化为群、环、模等代数结构，使这些想法得以精确化。群基本上是一个带有基本运算的集合，这种运算满足：将集合中的两个元素组合后，仍然属于这个集合，并且每个元素都有一个逆元。

例如，整数集合（……，-2，-1，0，1，2，……）是一个群，运算是加法“+”。两个整数相加还是整数，每个整数都有一个逆元，比如 25 的逆元是 -25 。对于循环群来说每个群都有生成元，即一些特殊元素，可以通过这些元素组合出集合中的所有其他元素。

对于整数集合来说，所有整数都可以通过有限个 +1 或 -1 的和得到，所以整数群是循环群，因此“1”是它的生成元。只有一个元素的群，比如只有“0”且运算为加法“+”的群，被称为平凡群。

回到代数拓扑的核心，代数拓扑解决问题的方法就是将不同的曲面转化为不同的群。有很多种方式可以把群与曲面联系起来，最简单的方法叫做“奇异同调”。

在奇异同调中，一个无限多的群系列会被关联到任意给定的曲面上，这些群分别是 H0 , H1 , H2 等等。本质上，Hm（某个曲面）计算该曲面上的 n 维“孔洞”数量。

例如，在球面和轮胎面中，H1(球面) = 平凡群，而 H1(轮胎面) 不是平凡群，所以 H1(球面) ≠ H1(环面) 。这证明了不存在一对相互逆的连续函数能将球面映射到轮胎面而无需进一步分析！

之所以 H1(球面) ≠ H1(轮胎面) ，是因为球面没有孔，而轮胎面上有孔，这也解释了为什么在轮胎面上某些环（loop）无法被缩小成一个点——参见前文。

那么 H1(轮胎面) 是什么呢？ H1(轮胎面) 是一个由两个环（loop）生成的群，如下所示：



因此像 4a + 5b 这样的表达式意味着绕“a” 4 圈和绕“b” 5 圈。负系数，如 -3a ，表示反方向绕“a” 3 圈。好了希望你喜欢今天的内容，下期见！



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