聊聊不动点

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聊聊不动点

原创 AQUAWEN 套码的汉子 2024 年 10 月 27 日 09:49 辽宁

不动点问题中，巴纳赫、布劳威尔和绍德尔不动点定理都占据着重要的地位，它们为解方程问题提供了强大的支持。

A、巴纳赫不动点定理相关概念

巴纳赫不动点定理也被称为压缩映射原理。它适用于完备的度量空间。若在一个完备的度量空间中，存在一个映射，使得对于空间中的任意两点，经过这个映射后，它们之间的距离以小于 1 的比例缩小，这个映射就被称为压缩映射。此时，压缩映射具有唯一的不动点，并且可以通过特定的迭代序列收敛到这个不动点。

B、布劳威尔不动点定理

1. 定理内容

布劳威尔不动点定理表明，对于任意一个从 n 维欧几里得空间中的闭球到自身的连续映射，都存在一个不动点。例如，在二维空间中，一个圆盘（包括边界），如果把这个圆盘上的每一个点通过某种连续的方式映射到这个圆盘内的另一个点，那么在这个圆盘里一定存在至少一个点，经过映射后位置保持不变。

2. 应用领域

在经济学中，布劳威尔不动点定理可以用来证明经济均衡的存在。在一个市场模型中，商品的供给和需求函数是连续的，通过这些函数的相互作用构成的映射，根据该定理就可以知道市场存在一个均衡点，在这个点上供给和需求达到平衡。

C、绍德尔不动点定理

1. 定理内容

绍德尔不动点定理指出，设 X 是一个巴拿赫空间（完备的赋范线性空间），C 是 X 中的一个凸闭子集。如果 T:C→C 是一个连续的紧算子，那么 T 在 C 中有一个不动点。

2. 与其他定理的关系

绍德尔不动点定理可以看作是布劳威尔不动点定理在无限维空间（巴拿赫空间）中的推广。布劳威尔不动点定理主要适用于有限维欧几里得空间中的闭球等紧凸集，而绍德尔不动点定理处理的是无限维巴拿赫空间中的凸闭子集。

Summary

综上所述，我们总结一下上述定理：

1. 相同点

● 都涉及到不动点的存在性问题，为寻找映射中的不动点提供了理论依据。

● 在一定程度上都依赖于空间的性质，如完备性、凸性等。

2. 不同点

● 适用空间不同：

● 巴纳赫不动点定理适用于完备的度量空间。

● 布劳威尔不动点定理适用于有限维欧几里得空间中的闭球等紧凸集。

● 绍德尔不动点定理适用于无限维巴拿赫空间中的凸闭子集。

● 条件不同：

● 巴纳赫不动点定理要求映射是压缩映射，即距离以小于 1 的比例缩小。

● 布劳威尔不动点定理要求是连续映射且空间是闭球等紧凸集。

● 绍德尔不动点定理要求映射是连续的紧算子且作用在巴拿赫空间的凸闭子集上。

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