复数，居然无法走出平面！

luyuanhong

复数，居然无法走出平面！

原创 笑看数学 笑看数学 2024 年 10 月 26 日 23:59 北京

我们知道数学里的 i ：



有了 i 以后，我们的数域扩充到了复数，任意一元 n 次方程都有了 n 个根，完美多了。而且复数运算起来也非常优雅，加减乘除都和实数一样可以运算，感觉上简直就是把 i 当成个变量参与进去运算就行了，和实数衔接得很好。

我们知道，复数与二维平面上的点是一一对应的。如图所示：



那问题就来了，我们人类明显是生活在三维空间啊，为啥不搞个“三维复数”出来呢，然后让它也满足实数、2 维复数的基本性质，比如加减乘除交换律结合律……，这种高维复数存在吗？会不会更有用呢？依葫芦画瓢，建立“三维复空间”可以吗？



答案很简单，不行！因为运算规则居然无法定义！别急，听我慢慢道来。首先 i 平方为 -1 ，j 平方自然也是 -1 ；

i 乘以 1 为 i ，j 乘以 1 自然是 j 。

那问题来了“i 乘 j”结果应该是啥？

简单推算一下可以发现 ij 居然“啥都不是”：





简单说明就是第一个推理说明 ij 不可能为任意实数，第二个推理又说明 ij 应该是 1 或 -1 ，没法兼容，说明 ij 根本就无法取值，无法定义，连这都定义不了，那“3 维复数”自然就没了。而且很显然“4 维复数”，“5 维复数”……也必然存在这个问题，所以复数的高维扩充之路直接就被宣判死刑了，那么好用的复数，居然走不出平面，想来真是令人惋惜。

不过也不用绝望，还是有好消息的。数学界在复数高维扩充之路上，还是做了一些其他的努力尝试。我们回想一下上面的“高维复数”为啥会无法定义，很重要的一点就是“二维复数”的性质太好了，加减乘除结合律交换律等等都满足，要原封不动继续满足这些好的性质，那就无法继续定义“高维复数”了，如果砍掉某些性质，是否可以定义高维空间的复数呢？此时的答案就变成肯定了。

比如说“四元数”：



砍掉了“交换律”。里面 ij=k ，而 ji=-k ，明显已经不再满足交换律了。

还有“八元数”：



八元数不具备结合律和交换律，但具备交错代数的特性，并保有幂结合性。

还有更复杂的十六元数：不符合交错性,符合幂结合性。当然还可以继续扩充下去得到三十二元数、六十四元数......感兴趣的可以去了解一下凯莱-迪克森结构。

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