Collatz 猜想和冰雹序列

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Collatz 猜想和冰雹序列

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 10 月 20 日 21:05 陕西

科拉茨猜想，也被称为 3n+1 问题，凭借其看似简单却又深刻的内涵，依然吸引着数学家和爱好者们的注意。在这期推送中，我们尝试探讨为什么这个猜想这么复杂，以及一些最新的进展、当然也包括一些先进的数学方法，以及这一持久谜题的广泛影响。

猜想及其表述

由德国数学家洛塔尔·科拉茨（Lothar Collatz）于 1937 年提出的这一猜想形式，优雅而简单。表述如下：

对于任何正整数 n ：

如果 n 是偶数，则将其除以 2 。

如果 n 是奇数，则将其乘以 3 再加 1 。

对结果重复上述过程。



该猜想提出，无论从何数开始，这个序列最终都会到达 1 ，并进入循环 4 → 2 → 1 。通过应用科拉茨过程生成的序列被称为冰雹序列（Hailstone Sequence），它展示了增长与衰减的有趣模式，差不多会有下面两个阶段。

增长阶段

● 指数增长：许多数字最初因反复应用 3n+1 规则而迅速增长，快速导致较大的数值。

● 平台期：在经历一段时间的指数增长后，序列通常进入平台期，数字在相对狭窄的范围内波动，有时持续数千次迭代。

衰减阶段

● 下降到 1 ：最终，序列进入衰减阶段，逐步减少直到达 1 。

● 4-2-1 循环：这是序列中已知的唯一循环，所有数字被认为最终都会进入这一循环。

数学方法：深入探讨

尽管对该猜想的蛮力测试已经非常广泛，但更复杂的技术也已被开发出来：

● 并行计算：将计算分布到多个处理器上以测试更大范围的数字。

● 优化算法：开发更高效的方法来生成和分析冰雹序列。

2019-2020 年的一个计算机科学合作项目检查了所有小于 2^68（约为 3×10^20）的数字，确认该猜想在这一庞大的数字范围内成立。而在数学中也有一些方法可以对这个猜想做一些研究，比如数论方法，利用模运算：通过检查序列的模数性质来识别模式和约束，或者图论的方法将科拉茨过程表示为一个有向图，分析冰雹序列作为有向无环图（DAG）的性质。使用着色技术研究迭代图的结构。



2019 年菲尔兹奖得主陶哲轩（Terence Tao）在科拉茨猜想上取得了重大进展：

● 他证明了“几乎所有”科拉茨起始值最终都接近 1 。

● 他的研究表明，超过 1 千万亿的起始值中，99% 以上最终达到小于 200 的值。

● 尽管尚未完全证明，这被认为是该猜想历史上最强的结果之一。

2023 年，Jishe Feng 提出使用二进制字符串表示来分析科拉茨函数。Eduardo Diedrich 在 2023 年和 2024 年提出了一系列预印本，通过“代数逆树”提供了对科拉茨猜想的新视角。Yolcu、Aaronson 和 Heule 在 2023 年通过字符串重写系统的终止性研究了科拉茨猜想，构建了一个模拟科拉茨函数的重写系统。

我相信在不远的将来，随着科技和数学的进步，我们必然会最终解决这个问题，或发现它是不可解的。如果你也打算开始研究这个问题，建议搜索“冰雹序列”而不是“科拉茨猜想”，因为前者的相关研究更多。



围城里的猫