超实数系统简介

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超实数系统简介

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 10 月 27 日 18:00 陕西

数千年来，数学家们一直痴迷于无穷大和无穷小的概念——无穷小是一种非零量，但其量级小于任何已知的非零数。关于数的系统的争议最早出现在公元前 450 年左右，当时梅塔庞图姆的希帕索斯发现了根号 2 的存在，但从此再也没有出现过，许多人声称他被一群毕达哥拉斯哲学家扔下了船，因为他犯了某种数学异端邪说。通过研究单位正方形对角线的长度，希帕索斯提出了并非所有量都能用有理数表示的观点。

当然，随着数学接下来的两千年中在中东和欧洲的进一步发展，希帕索斯的想法得到了证实。到了 17 世纪，数学家们开始努力解决这样一个事实：一条线上的一组有理数点永远无法定义一条线，这也导致了关于“无穷小”的争论进入数学讨论。

然而，到了 19 世纪初，数学界对“无穷小”等定义不明确的概念越来越感到不舒服，因为它们为如此重要的领域（微积分）提供了基础。奥古斯丁-路易·柯西著名的（ε,δ) 语言消除了数学中对“无穷小”的疑虑，柯西通过引入以下条件将函数 y=f(x) 定义为在 x 点处连续：如果我们选取任何正量 ε ，无论多小，都总能找到另一个正量 δ ，使得当 |x - y|＜δ 时，有 |f(x)-f(y)|＜ε 。这实际上是一种正式的说法，表示你可以以越来越高的分辨率永远放大一条连续曲线，并且你永远不会发现该曲线有任何断点。



无穷小的终结？还没结束！欢迎来到超实数

很多人不把数学和创造力联系在一起，但恰恰相反，数学家们一直在寻找观察世界的新方式。20 世纪初，一些数学家开始寻找一种不依赖于柯西（ε,δ) 语言的实分析替代方法。这导致在新的数集的正式定义中重新引入了无穷小。1948 年，哈佛数学家 Edwin Hewitt 引入了超实数。超实数用 *R 表示，是形式为 r+ε 的数字，其中：

1. r 是有限实数（r∈R）或者无限大的数。

2. ε 要么是零，要么是无穷小。无穷小是其量级小于任何实数的非零数。



超实数是一个有意义的数集，它遵循有序域的所有性质，因此它们实际上是实数的域扩展，就像复数是实数域扩展一样。这是通过将非零无穷小的乘法逆元定义为无穷大的数来实现的（因此无穷小量的逆元是无穷大的量，这是直观的）。当然它会涉及到一些特殊的算术规则。例如：

1. 对于任何有限超实数 a ，总有一个唯一的实数 r 使得 a = r+ε（r 加一个无穷小量）。这个实数 r 称为 a 的标准部分，记为 st(a) 。

2. 对于任何两个无穷小，它们的和也是一个无穷小。

3. 有限超实数与无穷小量的乘积是无穷小量。

4. 任何非零无穷小量除以同一个非零无穷小量等于 1 。

超实数在某种程度上可以让我们更轻松地理解实数中可能存在问题的方面。例如，0.999999… = 1 这个命题经常被用作质疑数学的可靠性，可以写成 st( 0.9999999…) = 1 ，现在看起来不那么可疑了。

为了消除早期数学家的疑虑，可以证明超实数遵循转移原理。这是一条原理，即当语句涉及有限实数时，任何关于实数的真语句都会转移到超实数。因此，如果将以“对于 R 中的任何 x ”开头的语句表述为“对于 *R 中的任何 x ” ，则该语句也将为真。

非标准分析

亚伯拉罕·罗宾逊是加州大学洛杉矶分校的数学家，如今被誉为非标准分析之父。非标准分析是基于超实数的实分析方法的发展——基本上是柯西 (ε,δ) 方法的替代方法。罗宾逊能够证明，当且仅当实数在逻辑上一致时，超实数在逻辑上也是一致的。这消除了在我们普遍接受的数学公理系统中使用超实数的任何障碍。



如今，得益于罗宾逊等人的工作，我们基于超实数对连续性和导数等概念有了替代（非标准）定义。例如：

1. 如果对于 X 中的所有 x ，每当 x = st(a) 时，对于某个超实数 a ，有 f(x) = st(f*(a)) ，则函数 f 在实数子集 X 上连续，其中 f* 是 f 在超实数的自然扩展。

2. f 在点 x 处的导数定义为



这里 ε 是任何非 0 的无穷小。

使用非标准分析定义导数基本上允许我们在需要时避免使用极限语言。例如，以下是使用非标准微积分证明 x^2 的导数为 2x 的方法：



在现代数学中，非标准分析不仅提供了新的工具来理解无穷小，还丰富了我们对传统分析的视角。通过这种方法，我们能够以更直观、更具结构性的方式处理复杂的数学概念，使得许多传统上被视为艰深的推导和证明过程得以简化。同时，这种方法提醒我们，数学不仅是关于数和公式的学科，更是一种充满创造力的探索，始终在寻求新的表达方式来诠释无穷大与无穷小的奥秘。

正如数学家们所展示的那样，数学不仅限于解答已有的问题，更在于通过新的数系和分析方法拓展我们对世界的理解。

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