马克西姆·孔采维奇：科学界的百万富翁，颜值圈的数学天才

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马克西姆·孔采维奇：科学界的百万富翁，颜值圈的数学天才

原创 关注全球科研的 科学方程式 2024 年 11 月 15 日 17:25 北京

马克西姆·孔采维奇（Maxim Kontsevich）曾被《纽约时报》形容为“拥有百万头脑”。原因是他自 1992 年以来，多次斩获国际大奖，奖金已达数百万美元之多。

1997 年 11 月，年仅 33 岁的孔采维奇荣获庞加莱奖。1998 年，他更是荣膺数学领域的最高奖项——菲尔兹奖。但这并不是他的巅峰，而是众多研究突破中的一次里程碑。此后，他仍旧步履不停，突破一个又一个难题，收获了包括邵逸夫奖（2012）、基础物理突破奖（2012）、数学突破奖（2015）在内的多个重量级奖项。


孔采维奇是妥妥一枚颜霸，年轻时经常入选数学家颜值榜。

事实上，作为当代数学和物理学交叉领域的杰出代表，孔采维奇不仅颜值霸榜，更是在结理论、量化和镜像对称方面取得了一系列开创性的成就。作为法国科学院院士，追随庞加莱（Henri Poincare）、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）等众多先贤的指引，孔采维奇以无限热忱在数学领域不断探索前行。

NO.01  证明威滕猜想，扬名欧洲舞台

1964 年 8 月 25 日，孔采维奇出生于莫斯科郊外的一个知识分子家庭。父亲是著名的朝鲜语专家和历史学家，母亲是一名工程师。孔采维奇还有一个哥哥，后来成为了计算机视觉专家。

受哥哥的影响，孔采维奇在 10 岁左右开始对数学产生兴趣。他阅读哥哥订阅的月刊《Kvant》，提前掌握了不少高中数学和物理知识。


《Kvant》最近一期封面

Kvant 在俄语中是量子的意思，这是一本创办于 1969 年，由科学院资助的、面向高中学生的物理和数学方面的科普月刊。1985 年，联合国教科文组织专家认为，《Kvant》是同类杂志中独一无二的。

16 岁时，孔采维奇在全国数学奥林匹克竞赛中获得第二名。凭借这份荣誉，他于 1980 年免试进入莫斯科国立大学学习数学。他的导师是著名数学家伊斯拉埃尔·盖尔范德（Israel Gelfand）。


伊斯拉埃尔·盖尔范德（1913-2009），苏联数学家，主要研究群论、表示论和泛函分析。获得过列宁勋章和第一届沃尔夫奖。

大学毕业后，孔采维奇进入俄罗斯研究院下属的信息传输问题研究所工作。工作之余，他除了继续研究代数问题，还喜欢上拉大提琴，经常和音乐家朋友一起演奏巴洛克和文艺复兴时期的音乐。

1990 年，孔采维奇受邀访问位于德国波恩的马克斯普朗克研究所。这是他人生的重要转折点之一。

随着三个月的访问接近尾声，孔采维奇有幸旁听了一次讲座，其中英国数学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）对威滕猜想的阐述令他着迷。这场讲座激发了他的灵感，仅仅两天后，孔采维奇便提出了一套证明威滕猜想的新想法——将模空间与一种全新类型的矩阵模型联系起来。

威滕猜想（Witten conjecture）

在代数几何中，威滕猜想是关于曲线模空间上稳定类的交数的猜想。

其动机是，两个不同的二维量子引力模型应该具有相同的配分函数。其中一个模型的配分函数可以用代数曲线模数堆栈上的交点数来描述，另一个模型的配分函数是 KdV 层次的 τ 函数的对数。

识别这些配分函数，就可以得出威滕猜想，即由交点数形成的某个生成函数应该满足 KdV 层次的微分方程。

威滕猜想是由美国理论物理学家爱德华·威滕（Edward Witten）在其 1991 年发布的论文中提出。1992 年，马克西姆·孔采维奇发表了证明论文。

孔采维奇使用带状图对模空间进行组合描述，证明了



右边的和是集合 Gg,n 上的带状图 X ，该图是属为 g 的紧黎曼曲面，有 n 个标记点。边 e 和 X 的点的集合分别表示为 X0 和 X1 。函数 λ 被认为是从标记点到实数的函数，通过将边的 λ 设置为与边每侧对应的两个标记点处的 λ 之和，可以将其扩展到带状图的边。

根据费曼图技术，这意味着 F（t0,…）是



因为 Λ 趋向于无穷大，其中 Λ 和 Χ 是正定的 N 乘 N 厄米矩阵，ti 由下式给出



正定厄米矩阵的概率测度 μ 由下式给出：



其中 CΛ 是归一化常数。该测度具有以下属性：



这意味着它在费曼图上的展开就是 F 在带状图上的表达。

由此，孔采维奇推断出 expF 是 KdV 层次的 τ 函数，从而证明了威滕猜想。

1992 年，孔采维奇在博士论文中提交了关于威滕猜想的完整证明，获得波恩大学自然科学博士学位。随后，哈佛大学、普林斯顿高等研究院和波恩大学相继向他投来了橄榄枝。

同年，巴黎举办第一届欧洲数学大会（ECM1），孔采维奇受邀发表演讲《费曼图和低维拓扑》，并获得了第一份重要荣誉欧洲数学学会奖。


1993 年，孔采维奇接受加州大学伯克利分校邀请，任职数学教授。

NO.02  证明量化问题，斩获菲尔兹奖

1993 年春天，孔采维奇开启了一项新的研究课题：同源镜像对称（Homological mirror symmetry）。他对此很兴奋，称之为“一个伟大的新视角的开端”。

镜像对称（Mirror symmetry）

在代数几何和理论物理中，镜像对称是卡拉比-丘流形之间的一种关系。该术语指的是两个卡拉比-丘流形在几何上看起来非常不同，但是用作弦理论的额外维度时却是等价的。


在超弦理论中，时空的额外维度有时被推测为六维卡拉比-丘流形的形式，于是产生了镜像对称的想法。其英文名 Calabi-Yau 包含了证明卡拉比猜想的丘成桐。上图为六维卡拉比-丘五次流形的 2D 切片。

1990 年以后，镜像对称成为数学研究的热门课题。数学家们想要通过严格的数学证明，重新解释这一物理思想。

1994 年，马克西姆·孔采维奇在爱德华·威滕提出的拓扑弦理论基础上，发展出一个新的数学猜想：同源镜像对称。它将镜像对称描述为两组不同数学结构之间的等价性：

卡拉比-丘流形对 X 和 Y 的镜像对称性可以解释为，由 X 的代数几何构造的一个三角范畴（X 上的相干层的导出范畴）与由 Y 的辛几何构造的另一个三角范畴（导出的 Fukaya category）的等价性。

除孔采维奇的同源镜像对称猜想以外，镜像对称还有一条证明路径是 SYZ 猜想。

镜像对称还未有结果，另一项关于量化的研究课题却迎来了突破性进展。1997 年，孔采维奇证明了每个有限维泊松流形 X 都允许正则变形量化。

自海森堡引入量子力学以来，量化的数学过程——从经典力学到量子力学的演变——一直是相关研究的核心议题。孔采维奇巧妙地运用了量子场论的思想，成功解决了泊松流形的变形量化问题。

结合之前的威滕猜想证明、结理论研究等成就，孔采维奇于 1998 年获得了数学领域的最高奖项——菲尔兹奖，时年 34 岁。


菲尔兹奖（Fields Medal）是最富盛名的国际数学奖项之一，有“数学界的诺贝尔奖”之称。每四年颁发一次，获奖者年龄不能超过 40 岁。

泊松流形（Poisson manifold）

在微分几何中，泊松流形是一种具有泊松结构的光滑流形。

变形量化的主要思想是将泊松流形上的（交换）函数代数变形为非交换代数，以研究从经典力学到量子力学的转变。这个主题是泊松几何发展的驱动力之一，其精确概念最早于 1978 年提出。

1997 年，马克西姆·孔采维奇提供了一个量化公式：



表明对任意泊松流形（M,π）有效的变形量化。

NO.03  开展弦理论研究，屡获国际大奖

自 1995 年孔采维奇离开加州大学伯克利分校，加盟法国高等科学研究所（IHES）担任数学教授以来，他和妻子一直生活在法国，并于 1999 年加入了法国国籍（同时保留了俄罗斯国籍）。

与对生活的稳定要求不同，孔采维奇在工作中时常变换研究主题。从费曼图到抽象代数、微分几何、动力系统、有限域……他的研究横跨代数、几何、拓扑和数学物理多个领域。不过，自始至终镜像对称和弦理论仍然是主线。

在提出同源镜像对称猜想以后，其验证工作一直进展缓慢。孔采维奇提出，可以使用 θ 函数在椭圆曲线的情况下证明该猜想。沿着这条思路，椭圆曲线版本的猜想被证明。

随后，孔采维奇又和美籍俄裔数学家杨·索贝尔曼（Yan Soibelman）长期合作，利用 SYZ 猜想的思想，证明了仿射流形上非奇异环面束的大部分猜想。

2008 年，孔采维奇和爱德华·威滕因为弦理论研究，共同获得了瑞典皇家科学院颁发的克拉福德奖。

从威滕猜想、拓扑量子场论到弦理论，这位接连引领了第一次、第二次超弦革命的前辈，一直也是孔采维奇研究课题上的领路人。从追赶到同行，孔采维奇终于凭借孜孜不倦的努力与突破，与威滕一起站在了这方聚光灯下。


爱德华·威滕（1951-），美国理论物理学家。他是第一位获得菲尔兹奖的物理学家，对弦理论、拓扑量子场论和数学各个领域贡献巨大。

2012 年，基础物理学突破奖创立，奖金高达 300 万美元。孔采维奇再次和爱德华·威滕分享了这一荣誉。同年，孔采维奇还获得邵逸夫奖，奖金 100 万美元。

2015 年，孔采维奇再将一项重量级奖项收入囊中——首届数学突破奖。同时获奖的还有西蒙·唐纳森（Simon Donaldson）、雅各布·鲁瑞（Jacob Lurie）、陶哲轩（Terence Tao）和理查德·泰勒（Richard Taylor），几乎囊括了当下最有影响力的顶尖数学家。

2021 年，孔采维奇以几何物理纲领领袖数学家的身份，在数学研究中心参与范畴论、形变理论等相关领域的研究指导。


2015 年数学突破奖颁奖礼现场

NO.04  孔采维奇：我对数学永不厌倦

自艾萨克·牛顿时代起，数学与物理学之间的思想交流便深远地影响着这两个领域。然而，随着 20 世纪分支学科的日益精细化，数学和物理学经历了一系列革命性的变化，并一度走向了独立发展的道路。

值得庆幸的是，在过去的三十年中，数学与物理学之间的互动再次变得频繁。这种趋势在很大程度上得益于孔采维奇的贡献，他不仅促进了两个领域的融合，还为数学开辟了一个全新的发展方向。

今年 9 月，为庆贺孔采维奇 60 周岁，法国高等科学研究所专门为他组织了为期一周的研讨会。题为“世纪十字路口上的数学”，既是讨论数学之变，也是向孔采维奇致敬。

“我永远不会对数学感到厌倦，它很美丽及长久。”在孔采维奇的不懈努力之下，我们有理由相信，数学将继续照亮科学的未来。



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