如何通俗理解泰勒级数

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如何通俗理解泰勒级数

原创 金朝老师来上课 数据分析学习与实践 2024 年 10 月 22 日 22:17 北京



泰勒级数是所有数学中用于逼近函数的最强大工具之一。泰勒级数不仅在数学学习中大有用武之地，在物理学的许多领域也是如此。例如，学过经典力学课程的人都可能已经在钟摆、质量弹簧系统等方面接触过泰勒级数的一些应用。

但是，这个概念背后的理解究竟是什么，我们如何才能真正深刻地理解它所代表的含义？

动机

在了解什么是泰勒级数之前，让我们先了解一下这个数学工具要帮助我们解决什么问题。

在很多情况下，当我们试图解决一个问题时，无论是数学还是物理，我们最终都会得到一个包含一些复杂函数的表达式，这给我们的生活带来了困难。例如，请看下图中描述钟摆运动的方程。


牛顿第二定律应用于摆

这不是一个容易求解的微分方程。右边的正弦函数对我们没有太好的解决方法。我们要做的是用一个 “更友好 ”的函数来代替 sin 函数，从而求解这个方程。然而，这个函数不能是一个任意函数。它必须表现得像我们要替换的函数--在本例中是一个正弦函数--至少在我们定义域如此，稍后我们将解释这意味着什么。

这就是泰勒级数对我们的帮助！现在让我们深入了解泰勒级数的工作原理。

泰勒系列

你能想到的最容易处理的函数是什么？我们希望函数的导数和积分易于手工计算，函数值易于手工计算，而且函数不会使通常的微分方程过于复杂。符合上述条件的最佳选择是多项式！

泰勒级数允许我们用我们选择的输入附近的多项式来逼近非多项式函数。

但它们是如何做到这一点的呢？

让我们来看看函数 f(x) = cos(x) :


f(x) = cos(x)




cos(x) 的可能近似值（绿线）


cos(x) 的可能近似值（绿线）





红线：余弦值 , 蓝线： P(x)




红线：余弦 cos(x) ，蓝线：P(x) 的三项式，绿线：P(x) 的三项式： P(x) 含 3 项，绿线： P(x) 含 7 项

推广



最后说明

正如《如何通俗理解傅里叶变换》将函数分解为正弦波的加权和一样，泰勒级数将函数分解为单项式的加权和，即自变量的增幂。这种分解方法简化了数学和物理学中的许多问题。我们将在以后的文章中介绍泰勒级数在物理学中的应用。

数学作为人类思维的一种表现形式，反映了积极的意志、沉思的理性和对完美审美的追求。

金朝老师来上课