\(\Large\textbf{有限是一个递归性质}\)

elim

定义有限为\(\mathbb{N}\)的元素的一种性质：
\(\text{(i)}\;\;\)是有限数;\(\quad\text{(ii)}\;\;\)若\(n\)是有限数, 则后继\(n'\)也是有限数.
令 \(S=\{n\in\mathbb{N}:\;n 是有限数\}\), 由上定义易见
\(\quad (0\in S)\wedge(n\in S\implies n'\in S).\) 据Peano 公理,
\(\quad S=\mathbb{N}.\) 即自然数皆有限数.
【注记】自然数皆有限数，\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\{m\in\mathbb{N}:m>n\}=\varnothing\)
\(\qquad\quad\)都是极其浅显的东西. 甚至没人把它们作为定理或
\(\qquad\quad\)习题提出来。
蠢疯不懂自然数与超穷数的本质区别，是其种孬的明证．

elim

即使种再孬, 也没人敢说 0 不是有限数，有限数的后继不是有限数.
所以不承认自然数皆非超穷数的蠢疯顽瞎是孬种畜生。

春风晚霞

elim 发表于 2025-1-17 00:06
即使种再孬, 也没人敢说 0 不是有限数，有限数的后继不是有限数.
所以不承认自然数皆非超穷数的蠢疯顽瞎是 ...

elim现行教科书认为自然数集是无限集，根据自然数集的无限性和良序性，自然数集\(\mathbb{N}\)必包含\(\infty\)!不错【没人敢说 0 不是有限数，有限数的后继不是有限数】，但是也没有人敢说自然数集不包含\(\infty\),也没有人敢说 无限数的后继是有限数！elim很感概地说【自然数皆有限数，\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\{m\in\mathbb{N}:m>n\}=\varnothing\)都是极其浅显的东西. 甚至没人把它们作为定理或习题提出来】。为什么会是如此？主要是自然数是由Peano 公理确定的，而非elim为满足自己的私欲“定义”出来的。完善的自然数理论已有一百多年的历史了，不管elim承认与否它都将坚不可摧！elim清醒一点吧，这么【极其浅显的东西. 甚至没人把它们作为定理或习题提出来】，是因为它本身就是一个极其荒谬的伪命题，你以为数学人都像你那样无知无畏吗？

春风晚霞

elim，\(\color{red}{自然数集是无限集，根据自然数集的无限性和良序性，自然数集\mathbb{N}必包含\infty}\)!红字部份算是论证t自然数集必包含\(\infty\)了吧？详细的论证你可参阅小学四年级数学教科书。不错【没人敢说 0 不是有限数，有限数的后继不是有限数】，但也没有人会说自然数集不包含\(\infty\)，也没有人会说无限数的后继是有限数！elim很感概地说【自然数皆有限数，\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\{m\in\mathbb{N}:m>n\}=\varnothing\)都是极其浅显的东西. 甚至没人把它们作为定理或习题提出来】。为什么会是如此？主要是自然数是由Peano 公理确定的，而非elim为满足自己的私欲“定义”出来的。完善的自然数理论已有一百多年的历史了，不管elim承认与否它的正确性都将坚不可摧！elim清醒一点吧，这么【极其浅显的东西. 甚至没人把它们作为定理或习题提出来】，是因为它本身就是一个极其荒谬的伪命题，你以为数学人都像你那样无知无畏吗？elim，真正拒绝Peano公理正儿八经地不识数的孬种是你自己，自然数从0数到无限，后面的数况是比前面的数大，自然数集能不包含\(\infty\)吗？

春风晚霞

       elim你既然知道【自然数集是无穷良序集】，那就应当承认自然数集\(\mathbb{N}\)必然存在超穷数。你说的【自然数集是归纳集】，是康托尔的自然数截段理论地屈解。自然数的截段理论提出时间略晚于恩格斯悖论：恩格斯一方面认为“无限纯粹是由有限组成的”（参见恩格斯《反杜林论》P53页第10行）；另一方面又认为“数学中的无限是实际存在的”（参见《自然辩证法》P4页第1行）。并且认为“数学一谈到无限大和无限小，它就导入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立。”（参见《自然辩证法》P190页19-20行）。【自然数是归纳集】这个提法，只注意到了无限是由有限组成这一方面，而忽略了无限与有限的本质差异。
       康托尔的实正整数理论中，没有自然数这个提法。在康托尔的有穷基数的无穷序列1，2，3，…，\(\nu\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)…中也没有\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)。由康托尔实正整数生成法则和皮亚诺公理的兼容性看，应该有\(\nu=\displaystyle\lim_{n \to\infty}n\)。注意\(\nu\)既不是自然数中的最大数，也不是超穷数中的最小数。逻辑学家朱得因认为“\(\nu\)既表示把一个个单位放上去的确切计数又表求它们江集成的整体。”（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页18-19行）。康托尔也没有\(\infty\)这个符号，和皮亚诺体系相比康托尔用\(\omega\)取代了\(\infty\)。并认为\(\omega\)表示表适当的无穷，而\(\infty\)则表示不适当的无穷（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页13-16行）。
       根据上面的分析,elim【若它含超穷数，那么它就含最小超穷数v, 根据自然数公理，v 是某自然数 n 的后继，既然 v 是最小超穷数，那么 n 就是有限数, 其后继 v 还是有限数. 与v的超穷性矛盾】反证思想，纯属扯淡！
       再次强调\(\infty\)和\(\mathbb{N}\)关系是集合与集合间的关系，所以通示elim的【\(\infty\notin\mathbb{N}\)】可知elim根本就不知道什么是无穷？当然elim也就更加不道什么是超穷了！因此主张【自然数皆有限数】的elim才是【名副其实地不识数】，才是【畜生中的孬种，孬种里的畜生】！
本帖较长，主要是写给对自然数集是否存在超穷数的网友的。至于elim又将不屑于顾，又将以春风晚霞从未论证自然数存在超穷数而胡搅蛮缠。不过公道自在人心，现行教育框架下，小学四年级就要讲自然数有无穷多个，自然数包含无穷大。

春风晚霞

       elim你既然知道【自然数集是无穷良序集】，那就应当承认自然数集\(\mathbb{N}\)必然存在超穷数。你说的【自然数集是归纳集】，是康托尔的自然数截段理论地屈解。自然数的截段理论提出时间略晚于恩格斯悖论：恩格斯一方面认为“无限纯粹是由有限组成的”（参见恩格斯《反杜林论》P53页第10行）；另一方面又认为“数学中的无限是实际存在的”（参见《自然辩证法》P4页第1行）。并且认为“数学一谈到无限大和无限小，它就导入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立。”（参见《自然辩证法》P190页19-20行）。【自然数是归纳集】这个提法，只注意到了无限是由有限组成这一方面，而忽略了无限与有限的本质差异。
       康托尔的实正整数理论中，没有自然数这个提法。在康托尔的有穷基数的无穷序列1，2，3，…，\(\nu\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)…中也没有\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)。由康托尔实正整数生成法则和皮亚诺公理的兼容性看，应该有\(\nu=\displaystyle\lim_{n \to\infty}n\)。注意\(\nu\)既不是自然数中的最大数，也不是超穷数中的最小数。逻辑学家朱得因认为“\(\nu\)既表示把一个个单位放上去的确切计数又表示它们汇集成的整体。”（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页18-19行）。康托尔也没有\(\infty\)这个符号，和皮亚诺体系相比康托尔用\(\omega\)取代了\(\infty\)。并认为\(\omega\)表示表适当的无穷，而\(\infty\)则表示不适当的无穷（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页13-16行）。
       根据上面的分析,elim【若它含超穷数，那么它就含最小超穷数v, 根据自然数公理，v 是某自然数 n 的后继，既然 v 是最小超穷数，那么 n 就是有限数, 其后继 v 还是有限数. 与v的超穷性矛盾】反证思想，纯属扯淡！
       再次强调\(\infty\)和\(\mathbb{N}\)关系是集合与集合间的关系，所以从elim的【\(\infty\notin\mathbb{N}\)】可知elim根本就不知道什么是无穷？当然elim也就更加不道什么是超穷了！因此主张【自然数皆有限数】的elim才是【名副其实地不识数】，才是【畜生中的孬种，孬种里的畜生】！
       本帖较长，主要是写给关注自然数集是否存在超穷数的网友看的。至于elim，他又将不屑于顾，又将以春风晚霞从未论证自然数存在超穷数而胡搅蛮缠。不过公道自在人心，现行教育框架下，小学四年级就要讲自然数有无穷多个，自然数包含无穷大。

elim

春风晚霞 发表于 2025-1-16 22:42
elim，\(\color{red}{自然数集是无限集，根据自然数集的无限性和良序性，自然数集\mathbb{N}必包含\infty}\ ...

自然数集是无穷良序集也是归纳集．若它含超穷数，
那么它就含最小超穷数v, 根据自然数公理，v 是某
自然数 n 的后继，既然 v 是最小超穷数，那么 n 就
是有限数, 其后继 v 还是有限数. 与v的超穷性矛盾．
可见\(\infty\not\in\mathbb{N}\), 主张超穷自然数是名副其实地不识数．
故楼上数盲扯数，纯属畜生中的孬种，孬种里的畜生

春风晚霞

       康托尔的实正整数理论中，没有自然数这个提法。在康托尔的有穷基数的无穷序列1，2，3，…，\(\nu\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)…中也没有\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)。由康托尔实正整数生成法则和皮亚诺公理的兼容性看，应该有\(\nu=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)。注意\(\nu\)既不是自然数中的最大数，也不是超穷数中的最小数。逻辑学家朱得因认为“\(\nu\)既表示把一个个单位放上去的确切计数又表示它们汇集成的整体。”（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页18-19行）。康托尔也没有给出\(\infty\)这个符号，在实正整数（即自然数）理论中，康托尔用\(\omega\)取代了\(\infty\)。并认为\(\omega\)表示表适当的无穷，而\(\infty\)则表示不适当的无穷（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页13-16行）。
       elim认为【用\(\mathbb{N}\)的良序性容易证明它不含超限数：若不然，良序集\(\mathbb{N}\)中超穷数全体所成的子集非空，含最小超穷数v, 根据自然数公理, v 是某自然数 n 的后继，既然 v 是最小超穷数, 那么 n 就是有限数,其后继 v 还是有限数. 与v的超穷性矛盾!】
       elim的这番胡说八道，进一步暴露了elim既不懂超穷数，也不懂自然数的良序性。设\(\mathscr{N}\)是良序集\(\mathbb{N}\)中全体超穷数所成的集合，即\(\mathscr{N}\)=\(\{\omega+1\)，\(\omega+2\)，…\(\omega+j\)\((j\in\mathbb{N})\),…，\(\omega+\nu\)，2\(\omega+1\)…，\(\}\)。不难证明超穷数集\(\mathscr{N}\)满足良序原理。\(\mathscr{N}\)中也确实存在最小超穷数\(\omega+1\)！不过\(\omega+1\)可不是任何自然数n的后继！设想出来的“新数\(\omega\)表示（I）的整体和（I）中数之间的一种相继次序”（参见康托尔《超穷数理论基础》P43页3-4行）。2\(\omega\)，3\(\omega\)，…与之同然。
       康托尔实正整数理论是完备的理论，elim所有质疑该出自你狂妄自大，不学无术。当然这也与你认知氛为有关，一个对自然数的认知还不及小学四年级的学生。你能正确理解自然数的性质吗？还有不管\(\mathbb{N}\)含不含超穷数，你的\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\{n\in\mathbb{N}:m>n\}=\phi\)都是错误的！

春风晚霞

       康托尔的实正整数理论中，没有自然数这个提法。在康托尔的有穷基数的无穷序列1，2，3，…，\(\nu\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)…中也没有\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)。由康托尔实正整数生成法则和皮亚诺公理的兼容性看，应该有\(\nu=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)。注意\(\nu\)既不是自然数中的最大数，也不是超穷数中的最小数。逻辑学家朱得因认为“\(\nu\)既表示把一个个单位放上去的确切计数又表示它们汇集成的整体。”（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页18-19行）。康托尔也没有给出\(\infty\)这个符号，在实正整数（即自然数）理论中，康托尔用\(\omega\)取代了\(\infty\)。并认为\(\omega\)表示表适当的无穷，而\(\infty\)则表示不适当的无穷（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页13-16行）。
       elim认为【用\(\mathbb{N}\)的良序性容易证明它不含超限数：若不然，良序集\(\mathbb{N}\)中超穷数全体所成的子集非空，含最小超穷数v, 根据自然数公理, v 是某自然数 n 的后继，既然 v 是最小超穷数, 那么 n 就是有限数,其后继 v 还是有限数. 与v的超穷性矛盾!】
       elim的这番胡说八道，进一步暴露了elim既不懂超穷数，也不懂自然数的良序性。设\(\mathscr{N}\)是良序集\(\mathbb{N}\)中全体超穷数所成的集合，即\(\mathscr{N}\)=\(\{\omega+1\)，\(\omega+2\)，…\(\omega+j\)\((j\in\mathbb{N})\),…，\(\omega+\nu\)，2\(\omega+1\)…，\(\}\)。不难证明超穷数集\(\mathscr{N}\)满足良序原理。\(\mathscr{N}\)中也确实存在最小超穷数\(\omega+1\)！不过\(\omega+1\)可不是任何自然数n的后继！设想出来的“新数\(\omega\)表示（I）的整体和（I）中数之间的一种相继次序”（参见康托尔《超穷数理论基础》P43页3-4行）。2\(\omega\)，3\(\omega\)，…与之同然。
       康托尔实正整数理论是完备的理论，elim所有质疑该出自你狂妄自大，不学无术。当然这也与你认知氛为有关，一个对自然数的认知还不及小学四年级的学生。你能正确理解自然数的性质吗？还有不管\(\mathbb{N}\)含不含超穷数，你的\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\{n\in\mathbb{N}:m>n\}=\phi\)都是错误的！

春风晚霞

elim 发表于 2025-1-19 15:24
自然数集是无穷良序集也是归纳集．若它含超穷数，
那么它就含最小超穷数v, 根据自然数公理，v 是某
自 ...

       康托尔的实正整数理论中，没有自然数这个提法。在康托尔的有穷基数的无穷序列1，2，3，…，\(\nu\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)…中也没有\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)。由康托尔实正整数生成法则和皮亚诺公理的兼容性看，应该有\(\nu=\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\)。注意\(\nu\)既不是自然数中的最大数，也不是超穷数中的最小数。逻辑学家朱得因认为“\(\nu\)既表示把一个个单位放上去的确切计数又表示它们汇集成的整体。”（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页18-19行）。康托尔也没有给出\(\infty\)这个符号，在实正整数（即自然数）理论中，康托尔用\(\omega\)取代了\(\infty\)。并认为\(\omega\)表示表适当的无穷，而\(\infty\)则表示不适当的无穷（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页13-16行）。
       elim认为【用\(\mathbb{N}\)的良序性容易证明它不含超限数：若不然，良序集\(\mathbb{N}\)中超穷数全体所成的子集非空，含最小超穷数v, 根据自然数公理, v 是某自然数 n 的后继，既然 v 是最小超穷数, 那么 n 就是有限数,其后继 v 还是有限数. 与v的超穷性矛盾!】
       elim的这番胡说八道，进一步暴露了elim既不懂超穷数，也不懂自然数的良序性。设\(\mathscr{N}\)是良序集\(\mathbb{N}\)中全体超穷数所成的集合，即\(\mathscr{N}\)=\(\{\omega+1\)，\(\omega+2\)，…\(\omega+j\)\((j\in\mathbb{N})\),…，\(\omega+\nu\)，2\(\omega+1\)…，\(\}\)。不难证明超穷数集\(\mathscr{N}\)满足良序原理。\(\mathscr{N}\)中也确实存在最小超穷数\(\omega+1\)！不过\(\omega+1\)可不是任何自然数n的后继！设想出来的“新数\(\omega\)表示（I）的整体和（I）中数之间的一种相继次序”（参见康托尔《超穷数理论基础》P43页3-4行）。2\(\omega\)，3\(\omega\)，…与之同然。
       康托尔实正整数理论是完备的理论，elim所有质疑该出自你狂妄自大，不学无术。当然这也与你认知氛为有关，一个对自然数的认知还不及小学四年级的学生。你能正确理解自然数的性质吗？还有不管\(\mathbb{N}\)含不含超穷数，你的\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\{n\in\mathbb{N}:m>n\}=\phi\)都是错误的！