一些有趣的无理数

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一些有趣的无理数

原创 刘瑞祥 遇见数学 2024 年 12 月 02 日 20:02 河南

在广袤的数学世界，一些重要的数字反复出现，为我们展现出不同领域的密切联系，不能不引起我们的惊叹。这其中有一些整数是不足为奇的，因为毕竟相对于所有数字来说，整数太“稀疏”了，所以每个整数实际上都很特殊——甚至连 1729 这样在数学家哈代眼里乏味的整数也是特殊的——但是，无理数里也很有一些有趣的数字。


哈代与拉马努金

不过，谈到“无理数”的时候，你千万不要觉得这是“没有道理”的数，而应该理解为“不能写成两个整数比值”的数，这是要牢记的。

一个重要的无理数就是圆周率 π 。我们最初是在学习圆的时候遇到它的。这可能也是今天很多人遇到的第一个无理数——甚至在此之前我们连 √2 都还没有接触过。每年的 3 月 14 日，喜欢数学的人们总要聚集在一起吃掉圆圆的馅饼，表示“已经把‘派（pie）’吃下去了”。


圆周率




黄金分割与正五边形


黄金分割矩形


黄金分割螺旋

这里我们要说一下什么叫黄金矩形和黄金菱形，前者指的是长宽之比为黄金分割率，后者则是对角线之比为黄金分割率。显然，后者是前者中点连线之比。

接下来我们继续关注三角形。一种非常特别的三角形的三边之比为 1 : √2 : √3 ，显然这是个直角三角形，非常经典，在正方体中就存在。这里就有两个无理数。



知道怎样快速获得这个角吗？容易得很：拿出一张 A4 纸，沿着对角线对折，就得到了这个三角形。这是因为 A4 纸的长宽之比就是 √2 : 1 。



图中所示角的 2 倍就是 109°28′ ，从正四面体的中心向它的四个顶点作连线，任意两条连线的夹角即为此值。也许你在生活中很少遇到正四面体？那么你家里做饭的时候是不是用天然气取暖？天然气的主要成分是甲烷，而一个甲烷分子是由一个碳原子和四个氢原子构成的，这些氢原子位于正四面体的顶点位置，碳原子位于正四面体的中心。在立体几何里，有一种特殊的几何体叫做“菱形十二面体”（下图中红色顶点处的平面角即是此角，由于立体图有一定的变形，有的角看上去像是锐角了），每个面都包含这个角度。不但如此，蜂巢的底部也含有这个角度。


菱形十二面体

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