希尔伯特公理

luyuanhong

希尔伯特公理

原创 欧阳克 欧阳克的数学课 2024 年 12 月 06 日 02:17 北京

希尔伯特公理体系是由德国数学家希尔伯特（David Hilbert ，1862 年 1 月 23 日 — 1943 年 2 月 14 日）于 1899 年出版的著作《几何基础》中提出的三维欧几里得几何的公理系统，由基本概念和公理两部分组成。

具体内容如下（相比希尔伯特原文有所调整，补充了（仿射）向量空间涵义下的一些定义，对某些公理做了等价替换和顺序调换）：

I. 基本概念：

I.1.基本元素（基本对象）：

1.点：集合 G0 的元素，一般用大写字母 A, B, C 等表示

2.直线：集合 G1 的元素，一般用小写字母 a, b, c 等表示

3.平面：集合 G2 的元素（希尔伯特公理中没有超平面），一般用希腊字母 α,β,γ 等表示

线段、角、射线以及其它图形等几何对象可依赖三种基本元素来定义

I.2.基本关系：

1.结合：

  1.点在直线上（“属于”、“通过”均为“在……上”的同义语）

  2.点在平面上

2.顺序：

一点 A 在另两点 B、C 之间（或“一点 A 介于两点 B、C 之间”，或“A 是线段 BC 的内点”）

3.合同（相等或全等）：

  1.线段合同

  2.角合同

合同（全等/相等）关系用“≡”表示，注意这里不表示同余

II. 公理：

II.1.结合公理

1.二点共线：

对于任意两个不同的点 A、B ，存在着直线 a 通过每个点 A、B

2.二点决定一直线：

对于任意两个不同的点 A、B ，至多存在着一条直线通过每个点 A、B

3.在每条直线上至少有两个点；至少存在三个点不同在一条直线上

4.三点共面：

对于不在一条直线上的任意三个点 A、B、C ，存在着平面 α 通过每个点 A、B、C ；在每个平面上至少有一个点

5.不共线三点决定一平面：

对于不在一条直线上的任意三个点 A、B、C ，至多有一个平面通过每个点 A、B、C

6.如果直线 a 上的两个点 A、B 在平面 α 上，那么直线 a 上的每个点都在平面 α 上，此时称直线 a 在平面 α 上

7.如果两个平面 α、β 有公共点 A ，那么至少还有另一公共点 B

8.至少存在四个点不同在一个平面上

II.2.顺序公理

1.如果点 B 在点 A 和点 C 之间，那么 A、B、C 是一条直线上的不同的三点，且 B 也在 C、A 之间

2.对于任意两点 A 和 B ，直线 AB 上至少有一点 C ，使得 B 在 A、C 之间

3.在一条直线上的任意三点中，至多有一点在其余两点之间

4.帕施（Pasch ，1843—1930）公理：

设 A、B、C 是不在一条直线上的三个点，直线 a 在平面 ABC 上但不通过 A、B、C 中任一点，如果 a 上有一点在 AB 之间，那么 a 上必还有一点要么在 AC 之间要么在 BC 之间（不可同时）

II.3.合同公理

1.如果 A、B 是直线 a 上两点，A' 是直线 a 或另一条直线 a' 上的一点，那么在 a 或 a' 上点 A' 的某一侧必有且只有一点 B' ，使得 A'B'≡AB ，同时有 AB≡BA

2.如果两线段都合同于第三线段，这两线段也合同

3.设 AB、BC 是直线 a 上的两线段且无公共的内点，A'B'、B'C' 是 a 或另一直线 a' 上的两线段，也无公共的内点，如果 AB≡A'B' ，BC≡B'C' ，那么 AC≡A'C'

4.每个角可以唯一地放在给定平面上给定射线的给定一侧：

在平面 α 上给定 ∠(h, k) ，在 α 或另一平面 α' 上给定直线 a' 和 a' 所确定的某一侧，如果 h' 是 α' 上以点 O' 为端点的射线，那么必有且只有一条以 O' 为端点的射线 k' 存在，使得 ∠(h', k')≡∠(h, k)

5.设 A、B、C 是不在一条直线上的三点，A'、B'、C' 也是不在一条直线上的三点，如果 AB≡A'B' ，AC≡A'C' ，∠BAC≡∠B'A'C' ，那么 ∠ABC≡∠A'B'C' ，∠ACB≡∠A'C'B'

II.4.平行公理

过定直线外一点，至多有一条直线与该直线平行

II.5.连续公理（表述一）

1.阿基米德原理：

如果 AB 和 CD 是任意两线段，那么在直线 AB 上，必有这样的有限个点 A1, A2,…, An ，排成这样：A1 介于 A 和 A2 之间，A2 介于 A1 和 A3 之间，依此类推，并且线段 AA1, A1A2,…, An-1An 都和线段 CD 合同，而且 B 介于 A 和 An 之间

2.康托公理：

一条直线上如果有线段的无穷序列 A1B1, A2B2, A3B3,… ，其中每一线段都在前一线段的内部，且对于任何线段 PQ 总有一个 n 存在，使得 AnBn＜PQ ，那么在这直线上必有且只有一点 X 落在 A1B1, A2B2, A3B3,… 的内部

（注意这里的“＜”不是实数集上的序，即线段的大小不能简单理解为度量（长度）对应实数的大小，而应当理解为基于希尔伯特几何顺序关系中的“介于”，平时我们不对此（线段的大小和线段的长度）作出区分是因为实数连续统/直线连续统，即实数和欧氏几何都有连续性公理的存在，就好比我们默认惯性质量和引力质量相等，但它们本质上是不同的概念，来自不同的定义）

（实际上，在原本的希尔伯特公理中根本没有定义“合同”乃至“长度”）

希尔伯特公理体系描述的是实数域上的三维欧氏空间（可记为ER3）的几何。

所以可以认为它是欧几里得《几何原本》体系的一个更加完备的表述，但并不能等同于实 n 维（仿射）欧氏几何，三维欧氏空间显然也不等同于实 n 维欧氏向量空间。

在本文采用的希尔伯特表述下，欧氏几何一共有三种基本元素，三种基本关系，以及五组二十条公理。

在希尔伯特原本的叙述里，三种基本元素（点、直线和平面）是三个未经定义也无需定义的概念。我们这里给出的所谓的 G0、G1、G2 三个集合是什么意思？啥意思也没有，下标也不表示维度，因为什么是维度也没有定义。

也就是说用什么来代表这些基本对象都是可以的，希尔伯特曾说“我们必定可以用‘桌椅、泥土、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”。其性质完全基于五组公理给出。

三种基本关系也是没有定义的，对结合、顺序和合同的刻画就基于结合公理、顺序公理和合同公理。

（比如，满足合同公理的线段关系即“线段合同”。）

这一点和我们在前文《复平面上的三角函数（十七）“数”的公理化构造–––为什么 1+1=2 》和《实数公理》所讨论的皮亚诺公理体系和实数公理体系是类似的，满足这些公理的模型就是我们所讨论的“数”和“几何图形”。

（希尔伯特非常推崇所谓的“公理法”，即一切几何图形的直观形象甚至定义都不重要，只需要满足五组公理即可，从五组公理出发就能推导出平面几何和立体几何的全部内容，几何空间就是基本对象组成的集合，对象之间只需满足公理规定的关系，一切符合公理系统的对象都能组成几何学，则这样的对象的直观形象即模型可以有无穷多个。希尔伯特希望用这种方法来排除一切的直观介入，而使用“纯粹的逻辑”来构建欧氏几何乃至整个数学（“希尔伯特纲领”）。

这种思想是不完善的，不能解决所有问题。具体我们将在今后关于集合论和数理逻辑（康托、罗素、哥德尔）的文章中讨论。

但在数学发展的一定阶段上，这是对的，比如，根据本文中的希尔伯特公理表即五组公理就可以推导出狭义的欧几里得几何（《几何原本》中）的全部结论（定理）。）

当然，为了方便，在具体的使用上，可以基于笛卡尔给出的坐标系模型，套用现代几何中实数域上的 n 维（仿射）欧氏几何（空间）中的低维子空间（一维子空间是点，二维子空间是线）或者说实（数域）n 维欧氏向量空间里的元素（向量）与点集（点是零维元素，线是一维元素）来定义三种基本元素（点、线、面）。

（我们曾经在前文《九章算术，费马，美国国家安全局（一）》和《复平面上的三角函数（十二）线性系统，矩阵，线性几何变换》等系列文章中对 n 维向量空间和线性变换做过粗略的介绍，更详细的内容将在今后（线性代数、近世代数、高等几何等）的相关文章介绍。）

以及借助具体的几何模型来定义基本关系，比如根据上面的模型，欧氏（仿射）空间具有距离（长度）的概念，从而可以使用仿射变换来定义：

实 n 维（对希尔伯特公理系统来说 n = 3）欧氏空间中保持长度不变的仿射变换称为合同变换。

设有两个点集构成的图形 F 和 F' ，它们的点之间能建立起一一对应的关系，使得 F 中任意两点的连线段总等于 F' 中两个对应点的连线段，则称 F 和 F' 相等或合同，记为 F≡F' 。

但这些补充定义并不需要包括在希尔伯特公理系统之内。

无论如何，此时我们可以简单地将欧氏空间（狭义的欧几里得空间）理解为，满足希尔伯特几何公理要求的元素的集合，也称为欧氏几何。

最后，根据前文《实数完备性基本定理（三）》 ，和实数系的阿基米德原理的推论对应，希尔伯特的欧氏几何连续公理也可以写成

连续公理（表述二）：

1.阿基米德原理：

如果 AB 和 CD 是任意两线段，那么在直线 AB 上，必有这样的有限个点 A1, A2,…, An ，排成这样：A1 介于 A 和 A2 之间，A2 介于 A1 和 A3 之间，依此类推，并且线段 AA1, A1A2,…, An-1An 都和线段 CD 合同，而且 B 介于 An-1 和 An 之间

2.康托公理：

一条直线上如果有线段的无穷序列 A1B1, A2B2, A3B3,… ，其中每一线段都在前一线段的内部，且对于任何线段 PQ 总有一个 n 存在，使得 AnBn＜PQ ，那么在这直线上必有且只有一点 X 落在 A1B1, A2B2, A3B3,… 的内部

又，由于欧氏几何的连续公理对应着实数系的连续性公理（即完备性公理），所以根据《实数的完备性公理（一）》 和《实数的完备性公理（二）戴德金分割、阿基米德性》 中所论证的，实数完备性命题之间的等价关系，如同前文《实数与数轴的连续性》中所写，

希尔伯特公理中的连续公理还可以表述为，

连续公理（表述三）：

把直线上的点分为两类，使得

1.每一点属于且只属于其中一类；

2.每一类中至少含有一个点；

3.在直线中引入顺序后，第二类点大于第一类点。

则或者第一类点有最大点，或者第二类点有最小点。

这三种表述是等价的。其中表述三对应实数公理中的戴德金原理，表述一和表述二中的康托公理对应闭区间套定理。

（未完待续）

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