自然对数的另一种形式

luyuanhong

自然对数的另一种形式

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 12 月 04 日 17:25 陕西

几个重要的函数都可以表示为无穷乘积，包括大多数三角函数、伽马函数和黎曼 zeta 函数。这些函数能够写成其零点（或极点）的乘积形式，这归功于复分析中的一个重要定理——魏尔施特拉斯分解定理（Weierstrass Factorization Theorem）。这个定理告诉我们，就像多项式可以通过其零点表达为乘积形式一样，某些特殊类别的函数（称为整函数）也可以做到这一点。因此你大可以把整函数看作是多项式的一种推广，但要理解这期推送的内容，你并不需要深究这一点。



因此，当我发现自然对数（有时表示为 ln）也可以表示为无穷乘积时，我感到有些惊讶。我几乎放下手中的一切，立即查找这个结果证明的原始论文。当年欧拉发现正弦函数的无穷积，从而证明了著名的巴塞尔问题欧拉是如何解决巴塞尔问题的，欧拉的数学遗产——从巴塞尔问题到黎曼 ζ 函数，巴塞尔问题的傅里叶级数解法，巴塞尔问题的新证明，而他发现 zeta 函数在素数上的积，则开创了解析数论领域。伽马函数的积则在分析、数论等领域产生了重要成果。再加上自然对数是我们分析中最重要的函数之一，这让我很疑惑为什么这种乘积表示法不如其他的那么出名。

当我开始写这篇文章时，我计划展示原始论文中给出的证明并向读者解释细节。然而，我后来意识到这个证明似乎没有必要。因为，我找到了一个美丽而简单的证明，也是我们这期的主体内容。

名牌产品代表

函数最著名的乘积表示之一是正弦函数。欧拉发现了以下内容，从根本上解决了巴塞尔问题：



有时我们数学家会忘记解释符号。考虑到这一点，让我们写出这个乘积，以确保我们都理解符号。



末尾的三个点表示“继续像这样乘以无穷大”。在这里，通过在大 Π 符号右侧的表达式中令 n=1 可以得到第一个因式，通过令 n=2 可以得到第二个因式，等等。

所有三角函数都可以分解为此类乘积。我们还有一个不错的乘积（实际上是几个），代表著名而神奇的伽马函数 Γ-数学中最重要的函数之一，它概括了阶乘函数。以下乘积是一种非常自然的表示，因为它是在除极点之外的整个复平面上定义的：



其中 γ 是神秘而又无处不在的欧拉-马歇罗尼常数，现在的我们对其几乎一无所知。

自然对数的乘积

事实证明，自然对数可以表示为以下无穷乘积：



看看这美丽的表达式，我们可以快速做一个计算上的验证，上述表达式在令 x=1 时求值为 0 ，并且当 x→0 时发散到 -∞ ，这是理所当然的。为了阐明定义，让我们写出前几个因子。我们有：



当 x=2 时，我们得到了一个很好的结果：



我不知道你是怎么想的，但我从来没有以这种方式见过自然对数，我们可以用这个乘积来找到数论中另一个非常重要的函数的无穷级数。通过对乘积的两边取自然对数，并利用乘积的对数是和这一事实，进行微分，然后就可以得到函数 f(x)=1/ln(x) 的一个有趣的无穷级数：



这个技巧被称为“对数导数”，也可以用于其他乘积。如果你尝试将其用于上面的正弦乘积，你就会得到另一个很棒的函数的惊人级数表达式。

回想一下，上面的自然对数的乘积表达式如下：



为了证明这一点，我们需要一个简单的恒等式：(a-b)(a+b) = a^2-b^2 。在我们的例子中，我们用它来证明



让我们将右边无穷乘积的表达式展开来写：



我们需要证明的是 f(x) = ln(x) 。请注意，我们可以在乘积的分数的分子和分母中乘以一些巧妙的因子。具体来说，我们有



现在，使用上面的平方差公式



现在做一下简单的约分化简，只会剩下如下的表达式：



别忘了还有三个省略号，因此 f(x) 的表达式为



我们将这里的 2^n 看成一个整体 n ，我们得到



有很多方法可以证明这个极限确实是 ln(x) 。如果我们对极限 n = 1/a 进行代入，我们可以将此极限写为



现在我们可以使用洛必达法则立即得到结果。这不是很棒吗？原始的论文中作者使用了双重求和以及大量隐藏的积分和代数来得出这个结果，那你一定会问原始论文的作者岂不是很笨，有简单的方法不用，不是这样的，如果你读过原论文，你会发现论文的作者实际上找到的是一种寻找有趣乘积和级数的通用方法，而不仅仅局限于自然对数，我们只是做了一个偷懒的证明而已，如果没有这篇论文，我想我自己也不会找到这个方法。如果你想自己尝试一下其他的，下面是论文的截图，你可以自己读一下原论文，也可以私信我，我会给出论文的链接。



围城里的猫